Tasa de interés compuesta efectiva con múltiples tasas de interés

Question

Estoy buscando la tasa de interés anual compuesta efectiva de una inversión que requiere que ahorre una cantidad fija mensual, pero la tasa de interés disminuye a medida que la inversión se acerca a la madurez. Por ejemplo:

La inversión comienza en una fase de alto crecimiento del 10% durante 24 meses, seguida de un crecimiento medio del 8% durante 12 meses y finalmente una fase de bajo crecimiento del 4% durante 12 meses. Con cada mes requiriendo el mismo pago fijo.

He estado tratando como loco de encontrar una fórmula, pero la mayoría de las fórmulas de tipo anualidad trabajan con pagos cambiantes a lo largo del tiempo en lugar de tasas de interés cambiantes.

¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Esta es la fórmula para una anualidad con monto inicial

donde

a es el monto inicial
d es el depósito periódico
r es la tasa de interés periódica
d es el depósito periódico
n es el número de períodos

Encadenar tres cálculos

a1 = 0
r1 = (1 + 0.1)^(1/12) - 1
n1 = 24

a2 = (d (1 + r1) ((1 + r1)^n1 - 1))/r1 + a1 (1 + r1)^n1 = 26.5451 d

r2 = (1 + 0.08)^(1/12) - 1
n2 = 12

a3 = (d (1 + r2) ((1 + r2)^n2 - 1))/r2 + a2 (1 + r2)^n2 = 41.1826 d

r3 = (1 + 0.04)^(1/12) - 1
n3 = 12

FV = (d (1 + r3) ((1 + r3)^n3 - 1))/r3 + a3 (1 + r3)^n3 = 55.0884 d

 d = 0.0181527 FV

o sin valores, el caso general para tres tasas es

FV = ((-d r1 (1 + r2) + (1 + r2)^n2 (d (r1 - r2) +
      (1 + r1)^n1 (d + (a1 + d) r1) r2)) (1 + r3)^n3)/
      (r1 r2) + (d (1 + r3) (-1 + (1 + r3)^n3))/r3

 d = (r1 r2 r3 (FV - a1 (1 + r1)^n1 (1 + r2)^n2 (1 + r3)^n3))/
       (-r1 r2 (1 + r3) + (1 + r3)^n3 (r1 (r2 - r3) +
       (1 + r2)^n2 (r1 - r2 + (1 + r1)^(1 + n1) r2) r3))

Y si el monto inicial a1 es cero

d = (r1 r2 r3 FV)/
     (-r1 r2 (1 + r3) + (1 + r3)^n3 (r1 (r2 - r3) +
     (1 + r2)^n2 (r1 - r2 + (1 + r1)^(1 + n1) r2) r3))

Obteniendo la tasa fija equivalente

Resolviendo para r donde

FV = (d (1 + r) ((1 + r)^n - 1))/r
d  = 0.0181527 FV
n  = 48

r = 0.00551856

Tasa anual efectiva = (1 + r)^12 - 1 = 6.82701 %

Answer 2

La forma más fácil en esta era de computadoras y hojas de cálculo sería configurar una hoja de cálculo con una fila para cada mes, ingresar la tasa de crecimiento correspondiente en cada mes y obtener el total final en la parte inferior. Luego, calcular la tasa de crecimiento anual basándose en ese total y su inversión inicial.

Supongo que cuando menciona "10% para los primeros 24 meses" se refiere a una tasa anual del 10%, y no 10% mensual o 10% durante los 24 meses. También presumo que sus números son de interés simple, antes de la capitalización.

También asumo que el dinero permanece en la cuenta, creciendo y capitalizándose, sin ninguna retirada. Esa suposición bien podría no ser cierta y, de ser así, tendría que ajustar la hoja de cálculo.

Con esas suposiciones, encuentro que una inversión inicial de $100 crecería a $110 después de 12 meses (la capitalización en ese punto es menos de 50 centavos), a $122 después de 24 meses, a $132 después de 36 meses y a $138 después de 48 meses. Por lo tanto, el crecimiento de $100 a $138 en 48 meses requeriría un crecimiento promedio (media geométrica) de 0.67% por mes o 8.0% por año.

Solo por diversión, observe que si calculó una media aritmética simple (10% x 24 + 8% x 12 + 4% x 12) ÷ 48, también obtendría 8.0%. El número exacto que obtuve de la manera larga fue 7.9975%, por lo que la diferencia es solo de .0025%.