¿Qué medida se utiliza para fijar el precio de un swap?

Question

Cuando valoramos el tramo flotante de un swap vainilla estándar, sustituimos la expectativa de los tipos flotantes futuros por los tipos a plazo conocidos hoy. Sin embargo, tengo entendido que el tipo a plazo es igual a la expectativa de un tipo al contado sólo bajo la medida a plazo del vencimiento correspondiente. Así, por ejemplo, si tenemos un tipo al contado r(T,D) que se conoce en el momento T pero que se paga en el momento T+D, el tipo a plazo f(T,D) conocido en el momento 0 es igual a la expectativa de r(T,D) sólo bajo la medida a plazo T+D.

Ahora bien, no entiendo por qué en el caso de los swaps vainilla no nos preocupa eso cuando sustituimos los tipos Libor spot futuros por sus tipos a plazo. ¿O estamos asumiendo implícitamente que cada pago de la pata flotante tiene un precio bajo su propia medida T_i+D a plazo, por ejemplo (donde T_i es el momento en que observamos el tipo Libor y T_i+D es el momento en que lo pagamos)?

Gracias,

Answer 1

Quiero proponer aquí una respuesta diferente. Creo que la expectativa matemática (bajo cualquier medida) no se utiliza para valorar un swap de intereses.

Hace años solía explicar los swaps a los principiantes hablando en términos de expectativas (quizás porque así lo aprendí yo mismo, aunque no estoy seguro). "Vemos en este ejemplo que el mercado espera que el Libor futuro tenga estos valores...". Dejé de hacerlo cuando me di cuenta de que era una explicación engañosa.

Un tipo de interés a plazo no es una expectativa (excepto bajo algunos supuestos especiales, que no necesitamos hacer en este caso, así que para qué hacerlos). Un forward es el precio actual de mercado de transferir efectivo de un periodo futuro a otro. El valor actual de un swap puede escribirse en términos de varios tipos al contado y a plazo, por lo que puede calcularse a partir de los precios de mercado sin necesidad de utilizar el operador de expectativas.

En otras palabras, el valor de un swap se encuentra a partir de los valores de mercado actuales de sus componentes, no como una media de algunas variables aleatorias en una determinada medida. La metodología es más parecida a la de Arrow Debreu que a la de Black Scholes Merton. El valor de una cosa es la suma de los valores de sus componentes. Para usar un ejemplo americano: Si la tarta de manzana se compone de relleno de manzana y de corteza, el precio de la tarta de manzana para su entrega a plazo dentro de un año es la suma del precio a plazo de la corteza y del precio a plazo del relleno de manzana.

En mi opinión, las expectativas no importan (aunque puedes utilizarlas si quieres) a la hora de obtener los resultados básicos del canje.

Answer 2

Cada pago se valora en su propia medida a plazo. Como el precio es la expectativa descontada de todos los flujos de caja (en la medida neutral al riesgo), se puede escribir como la suma de las expectativas de cada flujo de caja. Entonces, cada flujo de caja se valora independientemente del otro en su respectiva medida a plazo, bajo la cual la tasa de flotación del pago es una martingala. Así, cada flujo de caja puede valorarse a su tipo de interés a plazo.

Answer 3

Nota técnica: cambiamos la medida por individual flujo de caja (alejado de la medida común de riesgo neutral: el numerario de la cuenta del mercado monetario):

$$ \beta(t) \mathbf{E}_t\left[\beta(t_{i+1})^{-1}(L(t_i,t_i,t_{i+1}) -K)\right] = P(t,t_{i+1}) \mathbf{E}_t^{t_{i+1}}\left[(L(t_i,t_i,t_{i+1}) -K)\right] $$

y luego usar

$$ \mathbf{E}_t^{t_{i+1}}\left[L(t_i,t_i,t_{i+1})\right] = L(t,t_i,t_{i+1}) $$

Por lo tanto, aquí sí utilizamos la teoría de la fijación de precios de arbitraje (en lugar de los argumentos básicos: fijación de precios sin modelo de un FRA y luego descomposición de un swap en FRA, como en las respuestas anteriores), pero es una teoría ampliamente aceptada.