Micro: demostrar que el vector de insumos que minimiza los costes para producir y no puede producir más que y

Question

Estoy atascado en una pregunta muy simple. Dejemos que $V(y)$ sea el conjunto de todos los $x \in \mathbb{R}^n$ que puede producir al menos $y$ . Se nos da que $V(y)$ es un conjunto convexo.

Dado $w$ Los precios de los factores de producción son los siguientes

$$x^* = \arg \min wx$$ $$\text{such that } x \in V(y)$$

Demostrar que $x^* \notin V(y’)$ para $y’>y$

Intenté usar la contradicción pero sólo probé que si lo anterior no se cumple entonces $x^*$ puede producir infinitas $y$ . ¿Puedo afirmar que es una contradicción (con qué?) y decir que la prueba es completa?

Answer 1

No creo que necesites convexidad. Sin embargo, creo que sí necesitas asumir alguna condición de monotonicidad. Lo siguiente debería funcionar (pero podría no ser el conjunto mínimo de supuestos que proporciona el resultado).

Consideremos el conjunto de posibilidades de producción $V(.)$ . $$ V(y) = \{x \in \mathbb{R}^n_+| x \text{ can produce } y\}. $$ Suponemos que $V(y)$ es un subconjunto cerrado no vacío de $\mathbb{R}^n_{+}$ . Dejemos que $w \in \mathbb{R}^n_{++}$ y definir: $$ c(y) = \arg\min_x wx \text{ s.t. } x \in V(y). $$ Como $V(y)$ está cerrado, este problema está bien definido. El valor de $c(y)$ da el coste mínimo de producción $y$ . Definir $X(y) = \{x \in V(y)| w x = c(y)\}$ como el conjunto de todas las soluciones óptimas.

Supuesto 1: Si $y' >y$ entonces $V(y') \subseteq V(y)^\circ$ donde $A^\circ$ es el interior del conjunto $A$ (en relación con $\mathbb{R}^n_+$ ).

Supuesto 2: si $y > 0$ entonces $0 \notin V(y)$ .

El supuesto 1 requiere que los conjuntos de posibilidades de producción estén estrictamente anidados. El supuesto 2 requiere que no podamos producir algo de la nada.

Lema 1: Si se cumplen los supuestos 1 y 2, entonces $y' > y$ implica $c(y') > c(y)$ .

Prueba: Dejemos que $y' > y$ . Y que $x^\ast \in X(y')$ . Entonces, como $x^\ast \in V(y')$ tenemos por la suposición 1 que $x^\ast \in V(y)^\circ$ . Entonces sabemos que hay un $\varepsilon > 0$ tal que $B_\varepsilon(x^\ast) \cap \mathbb{R}^n_{+} \subseteq V(y)$ . Como $x^\ast \ne 0$ (por el supuesto 2), podemos encontrar un $x' \in B_\varepsilon(x^\ast) \cap \mathbb{R}^n_+$ tal que $x' < x$ y $x' \in V(y)$ . Entonces: $$ c(y) \le w x' < w x^\ast = c(y') $$ que demuestra la prueba.

Teorema 2: Dejemos que $y' > y$ y $x^\ast \in X(y)$ entonces $x^\ast \notin V(y)$ .

Prueba: Hacia una contradicción suponga que $y' > y$ , $x^\ast \in X(y)$ y $x^\ast \in V(y)$ . Entonces $c(y) = w x^\ast$ y $c(y') \le w x^\ast$ . Sin embargo, esto implica que: $$ c(y') \le w x^\ast = c(y), $$ lo que contradice el lema 1.

Answer 2

Un intento con la adición de un supuesto adicional:

Dejemos que $0 \in V(0)$ y $0 \notin V(y), \forall y>0$

Desde $V(y)$ es el conjunto de todos los $x$ que al menos puede producir $y$ tenemos que $V(y’) \subseteq V(y), \forall y’>y$

Ahora dejemos que $x^*$ (como se define en la pregunta) $\in V(y’)$ .

De la definición: $wx^* \leq wx, \forall x \in V(y)$ . Por lo tanto, también tenemos que

$$wx^* \leq wx, \forall x \in V(y’)$$

Así que, $$x^* = \arg \min wx$$ $$\text{such that } x \in V(y’)$$

Ahora bien, esto puede ampliarse también hacia atrás. Digamos que $y’’<y$ y

$$x’’ = \arg \min wx$$ $$\text{such that } x \in V(y’’)$$

Siguiendo la lógica de arriba, $x’’$ también minimiza el coste para $y, y’$ .

Tomando todo el camino de vuelta, debe ser eso:

$$x^* = \arg \min wx \,\,\, \forall x \in V(0)$$

Sin embargo, debido a la suposición adicional ( inacción ), el coste mínimo para producir 0 es 0. Así que $x^*=0$ (para $w>0$ ), lo que también es una contradicción con la hipótesis expuesta a continuación.