Expectativa en una ecuación diferencial estocástica

Question

Soy nuevo en el cálculo estocástico, quiero encontrar la media de $X_2$ con $X_t = \exp(W_t)$ con $W_t$ un proceso Wiener.

Utilicé el Lemma de Ito es llegar a la SDE: $$\begin{align} d(X_t) = \frac{1}{2}X_t dt + X_t dW_t \end{align}$$ Pero, ¿cómo puedo obtener la media de $X_2$ ?

Answer 1

Suponiendo que se trate de expectativa incondicional En general, usted tiene

$$\mathbb{E}[X_t] = \mathbb{E}[e^{W_t}] = e^{\mathbb{E}[W_t] + \frac{1}{2}\text{Var}(W_t) }$$

que da como resultado

$$\mathbb{E}[X_t]= e^{\frac{1}{2} t}$$

Por lo tanto,

$$\mathbb{E}[X_2]= e$$