¿Cómo encontrar un precio de equilibrio competitivo cuando dos empresas operan con costes marginales diferentes?

Question

Consideremos un mercado de bienes homogéneo con la función de demanda Q = 30 P, donde Q y P denotan cantidad y precio respectivamente. Hay dos empresas que juegan un juego de precios de la siguiente manera: la empresa 1 cotiza un precio y la empresa 2 elige un precio. Cuando cobran el mismo Cuando cobran el mismo precio, se reparten el mercado a partes iguales y, en caso contrario, la demanda del mercado se dirige a la empresa que cobra un precio más bajo. la demanda del mercado se dirige a la empresa que cobra un precio más bajo. La empresa 1 tiene una restricción de capacidad en el 5 unidades, de modo que hasta las cinco unidades el coste marginal de producción es de 3 rupias por unidad de producción. es de 3 rupias por unidad de producción, pero más allá de 5 unidades no puede producir ninguna producción. La empresa 2 no tiene ninguna restricción de capacidad, puede producir cualquier cantidad con un coste marginal de 6 rupias. ¿Cuál sería el precio de equilibrio en el mercado?

Estoy confundido, creo que hay que poner primero demanda=oferta, entonces si el precio de equilibrio es 6 (la respuesta), la empresa 1 producirá 5 bienes pero la empresa 2 no tiene ningún incentivo para producir nada. ¿No será el precio un poco mayor que 6?

Answer 1

Ignorando la posibilidad, ya mencionada, de que el problema esté mal escrito: El concepto de "demanda residual" será útil aquí.

Como en cualquier juego secuencial, es bueno trabajar hacia atrás. Desde la perspectiva de la empresa 2, la empresa 1 ha cotizado un precio $p_1$ y la empresa 2 tiene la oportunidad de responder.

La empresa 2 sabe que si fija $p_2<p_1$ , tomará todo el mercado, y se enfrentará a toda la curva de demanda $Q = 30-p_2$ . Puede elegir el beneficio máximo $p_2$ Siempre y cuando $p_2<p_1$ .

Del mismo modo, si establece $p_2=p_1$ , se repartirá el mercado.

Por último, si establece $p_2 > p_1$ , se enfrentará a la demanda residual que queda después de que la empresa 1 realice sus ventas. Suponiendo que $p_1\leq 25$ La empresa 1 venderá sus cinco unidades y luego no podrá vender más. La demanda sobrante para que la empresa 2 venda después de que la empresa 1 haga sus ventas será entonces $q_2=30-p_2-5$ o $q_2=25-p_2$ . La empresa 2 puede elegir su precio de maximización de beneficios en función de esta curva de demanda.

En cada uno de estos casos anteriores, la empresa 2 está seleccionando la cantidad que maximiza el beneficio estableciendo primero el beneficio:

$$\Pi_2 = p_2q_2 - 6q_2 = (p_2-6)q_2$$

Enchufe el correspondiente $q_2$ utilizando las funciones de demanda determinadas anteriormente, luego tomar la derivada con respecto a $p_2$ y fijar la derivada igual a 0, resolver para $p_2$ . En cada caso estás limitado por lo que $p_2$ puede ser. Si trabaja con el $Q=30-p_2$ función de demanda (que sólo se obtiene si $p_2<p_1$ ), entonces si el precio que maximiza el beneficio es $p_2>p_1$ , entonces sí que querrás poner $p_2$ sólo un pelo por debajo $p_1$ (puedes llamarlo simplemente $p_2=p_1$ para simplificar).

Ahora tienes el precio óptimo de la Firma 2 para elegir dado que se ha decidido por $p_2<p_1$ , $p_2=p_1$ o $p_2>p_1$ . Para saber cuál de los tres quiere, deberá calcular el beneficio de la empresa 2 en cada uno de esos escenarios. Estos beneficios deben depender de $p_1$ ya que $p_1$ determina los límites de lo que $p_2$ puede ser sin dejar de satisfacer $p_2<p_1$ , $p_2=p_1$ o $p_2>p_1$ .

Así que ahora la empresa 1 sabe cómo responderá la empresa 2 a cualquier $p_1$ es. Y así la Firma 1 establecerá $p_1$ de manera que se maximice el beneficio de la empresa 1. Este paso es un poco más fácil, ya que la empresa 1 no gana nada bajo $p_2<p_1$ por lo que es poco probable que la empresa 1 quiera establecer $p_1$ por lo que la Firma 2 escoge $p_2<p_1$ .

Para que esto quede un poco más claro, hagamos un ejemplo de la empresa 2 tomando su decisión.

Digamos que la empresa 1 ha elegido $p_1=10$ .

Si los conjuntos de la empresa 2 $p_2<p_1$ se trata de la función de demanda $$q_2 = 30-p_2$$ . Así que establecimos beneficios

$$\Pi_2 = (p_2-6)(30-p_2)$$ $$\frac{\partial \Pi_2}{\partial p_2} = 36 - 2p_2 = 0 \Rightarrow p_2=18$$

que está por encima de $p_1=10$ . Dado que el beneficio es estrictamente creciente en $p_2$ para $p_2<10$ la empresa 2 maximizará su beneficio manteniendo $p_2<p_1$ al establecer $p_2=10$ (un pelo por debajo de 10, en realidad, pero digamos 10). El beneficio de hacerlo es

$$\Pi_2 = (10-6)(30-10) = 80$$

Y, por supuesto, la empresa 1 no vende nada y obtiene un beneficio de 0. Ahora bien, si la empresa 2 establece $p_2>p_1$ , se trata de la función de demanda

$$q_2 = 25 - p_2$$

y quiere maximizar el beneficio

$$\Pi_2 = (p_2-6)(25-p_2)$$ $$\frac{\partial \Pi_2}{\partial p_2} = 31 - 2p_2 = 0 \Rightarrow p_2=15.5$$

que está por encima de $p_1=10$ , satisfaciendo $p_2>p_1$ . Este precio conduce al beneficio

$$\Pi_2 = (15.5-6)(25-15.5)=90.25$$

En este caso, la empresa 1 vende sus cinco unidades y obtiene un beneficio de $(10-3)5=35$ .

También querrá comprobar el $p_2=p_1$ caso una vez que esté claro a qué conduce realmente.

Y así, si la empresa 1 establece $p_1=10$ , la empresa 2 querrá establecer $p_2=15.5$ ya que un beneficio de $90.25$ es mejor que un beneficio de $80$ .

Este ejemplo está elaborado con un $p_1$ y este particular $p_1$ hace a la empresa 2 no subcotización Firme 1. El siguiente paso es averiguar cuál es la más alto precio que la empresa 1 puede fijar sin que la empresa 2 prefiera la subcotización. Esto será $p_1$ en equilibrio, y la mejor respuesta de la empresa 2 a esa $p_1$ será $p_2$ en equilibrio.