¿Cómo se aplican los FDE cuando se quiere un precio determinado?

Question

Digamos que quiero fijar el precio de una determinada opción de compra en el modelo de Black Scholes utilizando métodos de diferencias finitas.

El proceso de valor de esta opción $V(s, t)$ satisface una EDP. Puedo utilizar métodos de diferencias finitas para determinar $V(s, t)$ para $s, t$ en una cuadrícula discreta.

Trabajando hacia atrás en el tiempo, puedo llegar a $V(s, 0)$ para todos $s$ en esa cuadrícula. Este es mi precio, para todas las plazas iniciales, siempre que esas plazas estén en la parrilla.

Pero mi objetivo original era solo cotizar 1 opción de compra, y ya conozco el spot inicial. Así que realmente sólo quiero $V(s', 0)$ para algunos fijos $s'$ .

Mi pregunta es, ¿cómo debo entonces implementar mi esquema FDM?

Por ejemplo, ¿debo asegurarme "manualmente" de que mi $s'$ se situará en esa malla, evitando así la necesidad de interpolar desde la malla?

¿Qué otras cosas debo hacer?

TLDR: Básicamente mi pregunta es qué cambios debo hacer en un esquema FDM cuando quiero un precio particular $V(s', 0)$ y no estoy realmente interesado en la FUNCIÓN general $V(s, t)$ para todo tipo de $s, t$ .

Answer 1

La respuesta es muy sencilla: siempre hay que centrar la cuadrícula en el valor al contado actual y asegurarse de que abarca un número suficiente de desviaciones estándar a cada lado para cubrir una parte suficiente de la distribución terminal al vencimiento. En particular, debe cubrir el forward al vencimiento.

NB:

1. Por definición, cuando se utiliza un FDM se obtiene la red de todos los valores de la función en el momento actual. Esto difiere de los métodos de tipo Monte-Carlo, en los que todas las trayectorias aleatorias comenzarían en el valor puntual.
2. También tener los valores de V(S,0) para varios S permite calcular delta/gamma "en la red". Sin embargo, tenga cuidado de que esto no sea el delta total si, por ejemplo, tiene un modelo de volatilidad que depende del propio spot.