Control del nivel de horas trabajadas en la formulación multiplicativa del KPR

Question

Las preferencias de KPR suelen venir dadas por

$$ \frac{c^{1-\sigma}}{1-\sigma} \cdot v(l)$$

con $l$ ser el ocio. Centrémonos en el caso de que $\sigma \in (0, 1)$ donde sabemos que $v(l)$ debe ser creciente y cóncava. Sea el tiempo total $T$ y denota $n$ por horas de trabajo. El problema estándar es entonces

$$ \max_{n\in[0, T]} \frac{(wn)^{1-\sigma}}{1-\sigma} \cdot v(T-n) $$

Una solución interior requiere

$$ v(T-n) = v'(T-n)\frac{n}{1-\sigma} \tag 1$$

Una función creciente y cóncava sería $v(x) = \frac{x^{1-\gamma}}{1-\gamma}$ , $\gamma \in (0, 1)$ . Esto da como resultado

$$\frac{T-n}{1-\gamma} = \frac{n}{1-\sigma}$$

o

$$ n = (1-\sigma)\frac{T}{1 - \gamma + 1 - \sigma} $$

Ahora, en general, deberíamos poder elegir el nivel de horas de trabajo - para cada nivel de IES ( $\sigma$ ). Así que vamos a arreglar $\sigma = 0$ en el caso de la neutralidad del riesgo, y obtenemos

$$ n = \frac{T}{2 - \gamma} \tag 2$$

Como $\gamma \in (0, 1)$ Esto significa que no tenemos un control total sobre el nivel de horas de trabajo: No podemos conseguir que $n<0.5$ es una elección óptima con estas preferencias.

Tenga en cuenta que un factor constante en $v(l)$ tampoco serviría de nada, ya que se perdería en (1). ¿Qué me falta? ¿Cómo puedo controlar mejor el nivel de horas de trabajo en la configuración multiplicativa de KPR? Es decir, cuando $U = U(c, v(l))$ y no $U = \log c + g(v(l))$ .

Answer 1

Siguiendo con mi comentario, si ambos se fijan estrictamente por encima de la unidad, entonces podemos obtener toda la gama, de forma indicativa:

Por eso he preguntado qué importancia tiene para el trabajo que nos ocupa constreñirlos en el $(0,1)$ intervalo en su lugar.

No será la primera vez que una forma funcional matemática tiene algunas restricciones inherentes que no le permiten reflejar todo el espectro del posible comportamiento humano.