Probabilidad neutral de riesgo para acciones con dividendo continuo

Question

Ajuste: árbol binomial con un paso en el tiempo $\Delta t$ . Estoy tratando de derivar la probabilidad neutral al riesgo para una acción que paga un dividendo continuo, digamos $\delta$ . es decir, la probabilidad $p$ tal que $$e^{r \Delta t} S_0 = S_u p + S_d(1-p)$$

donde $S_u, S_d$ son los valores de la acción en los estados alcista y bajista respectivamente. Esto da inmediatamente $$p = \frac{S_0 e^{r \Delta t} - S_d}{S_u - S_d}$$

Ahora bien, si asumimos $S$ tiene volatilidad $\sigma$ deberíamos estar recibiendo $S_d = S_0 e^{-\sigma \sqrt{\Delta t} - \delta \Delta t}$ y $S_u = S_0 e^{\sigma \sqrt{\Delta t} - \delta \Delta t}$ para que $$p = \frac{e^{r \Delta t} - e^{- \sigma \sqrt{\Delta t} - \delta \Delta t} }{ e^{ \sigma \sqrt{\Delta t} - \delta \Delta t} - e^{- \sigma \sqrt{\Delta t} - \delta \Delta t}} = \frac{e^{(r+ \delta)\Delta t} - e^{- \sigma \sqrt{\Delta t}} }{ e^{ \sigma \sqrt{\Delta t}} - e^{- \sigma \sqrt{\Delta t}}}$$

pero esto es incorrecto porque la fórmula que se da en las notas de clase de mi curso sobre esto es $$ p = \frac{e^{(r- \delta)\Delta t} - e^{- \sigma \sqrt{\Delta t}} }{ e^{ \sigma \sqrt{\Delta t}} - e^{- \sigma \sqrt{\Delta t}}}$$

(la única diferencia es el $r-\delta$ en el numerador en lugar del $r+ \delta$ ). No entiendo por qué mis suposiciones sobre los valores de $S_u$ y $S_d$ están mal. Cualquier ayuda será muy apreciada.

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MI POTENCIAL EXPLICACIÓN: quizás el valor de $S_u$ debe ser $S_0 e^{\sigma \sqrt{\Delta t} + \delta \Delta t}$ (y de forma similar con $S_d$ ) porque trabajamos con el pago de poseer una unidad de la acción, por lo que si aumentamos con factor ascendente $e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$ ganamos el valor del dividendo, no lo perdemos.

Answer 1

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Preludio

Un árbol de valoración introduce una estructura reticular para la valoración de derivados. Para no sobrecargar la notación, definamos el árbol por $K$ el número de nodos que salen de cada estado, las probabilidades correspondientes $p_1,p_2,\ldots,p_K$ para cada salto de tamaño $J_k$ , $k=1,\ldots,K$ y por supuesto $N$ el número de pasos en el árbol para que la longitud del paso $\Delta t$ se define como $T/N$ .

Con la elección de $K$ ( $K=2$ binomio, $K=3$ trinomio...) introducimos $2K-1$ grados de libertad a nuestro modelo: $K$ probabilidades, y $K$ salten las tallas.

Para poder realizar la valoración de opciones en nuestro árbol, debemos (al menos) cumplir dos condiciones en cada paso de tiempo $t$ :

1. $\sum p_{k}=1$ . Las probabilidades suman uno.
2. $S_t\sum p_{k}J_k=F(t+\Delta t)$ . La expectativa (neutral al riesgo) del precio del activo en el siguiente paso es el precio a plazo.

Estas dos condiciones nos roban dos grados de libertad para nuestro modelo, dejando $2K-2$ d.o.f. Los eliminamos añadiendo supuestos del modelo : Podríamos añadir algunas buenas características computacionales, por ejemplo, asumir un árbol recombinante, reduciendo la complejidad espacial de $O(N^K)$ a $O(N^1)$ o podemos imponer un determinado supuesto de distribución y tratar de igualar sus momentos.

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Ejemplo concreto: Árbol binomial

Dado el preludio, en un árbol binomial nos quedan los dos parámetros de salto de activos libres $J_1\equiv U$ , $J_2\equiv D$ .

A canónico árbol binomial introduce la suposición de que el árbol tiene que ser recombinando es decir $UD=1$ , lo que nos deja un parámetro libre, $U$ . El árbol binomial clásico de Cox-Ross-Rubinstein de 1979 postula que $U$ se elija de forma que la distribución de $S_{t+\Delta t}$ converge a una distribución lognormal con deriva neutral al riesgo y varianza $\sigma^2 \Delta t$ como $\Delta t \to 0$ . Así:

1. $\mathbb{E_Q}\left(S_{t+\Delta t}\right)=p_{\mathbb{Q}}S_tU+(1-p_{\mathbb{Q}})S_t1/U\stackrel{!}{=}F_{t+\Delta t}=S_te^{(r-y)\Delta}$
2. $\mathbb{V_Q}\left(S_{t+\Delta t}\right)\stackrel{!}{=}F^2\left(e^{\sigma^2\Delta t}-1\right)$ o, más sencillamente, $\mathbb{E_Q}\left(S_{t+\Delta t}^2\right)\Rightarrow p_{\mathbb{Q}}U^2+(1-p_{\mathbb{Q}})\frac{1}{U^2}\stackrel{!}{=}e^{2(r-y)\Delta}e^{\sigma^2\Delta t}$

Si lo miramos con más detenimiento, vemos que sólo hay una dof ( $U$ ). Se puede resolver este sistema no lineal de ecuaciones mediante alguna búsqueda de raíces, o se hace a la vieja usanza: Después de resolver para la probabilidad neutral de riesgo, $$ \begin{align} p_\mathbb{Q}S_{t+\Delta t}^u+\left(1-p_\mathbb{Q}\right)S_{t+\Delta t}^d\stackrel{!}{=}F_{t+\Delta t}&=S_te^{(r-y)\Delta t}\\ \Leftrightarrow p_\mathbb{Q}U+\left(1-p_\mathbb{Q}\right)D&=e^{(r-y)\Delta t}\\ \Rightarrow p_{\mathbb{Q}}=\frac{e^{(r-y)\Delta t}-D}{U-D} \end{align} $$

necesitamos encontrar un factor $U$ tal que la condición 2 se cumple para $\Delta t \to 0$ . Vamos a desglosarlo:

$$ \begin{align} p_\mathbb{Q}U^2+(1-p_\mathbb{Q})D^2&=F^2e^{\sigma^2\Delta t}\\ \frac{F-D}{U-D}(U+D)(U-D)+D^2&=F^2e^{\sigma^2\Delta t}\\ FU+FU^{-1}-1&=F^2e^{\sigma^2\Delta t}\\ U+U^{-1}&=F^{-1}+Fe^{\sigma^2\Delta t}\\ \end{align} $$

En este punto, vamos a tomar $\Delta t \to 0$ y linealizar todos los términos en torno a $X=e^x\approx 1+ x$ y linealizar $U\approx 1 + u + \frac{1}{2}u^2$ así como $U^{-1}\approx 1-u+\frac{1}{2}u^2$ por alguna razón aún desconocida $u$ :

$$ \begin{align} (1+u+\frac{1}{2}u^2)+(1-u+\frac{1}{2}u^2)&=(1-f)+(1+f)(1+\sigma^2\Delta t)\\ \Leftrightarrow 2+u^2&=2+\sigma^2\Delta t + f\sigma^2\Delta t \end{align} $$

Ahora como $\Delta t \to 0$ todos los términos de orden superior desaparecen y nos quedamos con

$$ 2+u^2=2+\sigma^2\Delta t \Rightarrow u=\sigma \sqrt{\Delta t} $$

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Como se dijo en el preludio, existen múltiples maneras de resolver esto. Incluso se podría definir su árbol binomial de manera diferente y empezar por postular condinciones en los momentos logarítmicos, es decir, que $p log(U) + (1-p)log(D)=\mu$ y tal...

¿HORA DE LA VERDAD?