¿Cómo se obtiene la fórmula de Breeden-Litzenberger?

Question

Estaba repasando una demostración de la fórmula de Breeden-Litzenberger y me quedé atascado en uno de los pasos intermedios.

El pdf de los precios del subyacente al vencimiento se define como $f(x)$ y $S_T$ es el precio del subyacente al vencimiento y $K$ es el precio de ejercicio, por lo que la probabilidad de que el subyacente venza a un precio superior al de ejercicio es: Además, el valor razonable de la opción es el pago esperado de la opción al vencimiento, descontado por la tasa libre de riesgo hasta el vencimiento, o matemáticamente como Así que ahora, si quiero calcular el valor razonable de la opción, Ahora, si diferencio el valor de la opción de compra con respecto al strike, cómo llego a esta respuesta que se muestra a continuación y cómo $(x-K)$ ¿desaparecer?

Answer 1

Hay que utilizar la regla integral de Leibniz. Más detalles aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule

Pero en pocas palabras (ignorando el $e^{-r\tau}$ que es una constante):

$$\frac{\partial C}{\partial K} = -(K-K)f(x)\frac{\partial K}{\partial K} + \int^\infty_K \frac{\partial}{\partial K}(x-K)f(x)dx = -\int^\infty_K f(x)dx$$