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¿Cuál es el dominio del operador Black-Scholes?

Con el operador Black-Scholes me refiero a lo siguiente.

$$L_{BS}u(x) = \frac{1}{2}\sigma^2x^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x) + rx\frac{\partial}{\partial x}u(x) - ru(x)$$

Obviamente, el dominio de $L_{BS}$ debe ser un subconjunto de funciones dos veces diferenciables de forma continua en algún intervalo, pero hacer una declaración definitiva sobre el dominio requiere algo específico sobre la aplicación en cuestión (la fijación de precios de las opciones en este caso) y el conocimiento sobre el origen del operador. Por lo tanto, lo que estoy buscando es.

Feynman-Kac dice algo sobre qué soluciones de la EDP de Black-Scholes satisfacen la fórmula de fijación de precios, es decir, en forma de expectativa condicional. La clase de soluciones es el conjunto de funciones dos veces continuamente diferenciables que son continuas en la frontera y cuyo crecimiento está acotado por una función de la forma $e^{\alpha x^2}$ .

También existe la clase de unicidad de la EDP de Black-Scholes, que tiene una característica de crecimiento similar.

Este documento menciona el espacio de Schwartz como el dominio del operador Black-Scholes, pero nunca he visto esto en ningún otro lugar.

Estoy buscando una respuesta que resuma todas las consideraciones que entran en esto, preferiblemente con referencias. Gracias.

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Xr. Puntos 200

El dominio sería dos veces diferenciable en S, una vez diferenciable en t funciones de S y t definidas sobre el producto cartesiano de S en (0,infty) y t en (0,T) para T >0 finito. Para obtener una solución única cuando se añaden condiciones de contorno, hay que restringir el crecimiento a medida que S va al infinito adaptando la condición correspondiente para la unicidad de las soluciones de la ecuación del calor.

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