Cómo entender el precio de mercado del riesgo

Question

Consideremos el vol. estocástico: $$dS = \mu Sdt + \sigma SdW_1$$ $$d\sigma = p(\sigma,S,t)dt + q(\sigma,S,t)dW_2$$ $$dW_1dW_2 = \rho dt$$ Queremos obtener el precio de la opción $V(\sigma,S,t),$ utilizamos el activo subyacente $S$ y otra opción $V_1(\sigma,S,t)$ para construir el hedging portfolio : $$\Pi = V -\Delta S - \Delta_1 V_1$$ luego hacer $$d \Pi = r\Pi dt$$ eliminar la risk terms tenemos $$\dfrac{\partial V}{\partial t} + \dfrac{1}{2}\sigma^2S^2\dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2} + \rho\sigma Sq\dfrac{\partial^2 V}{\partial S\partial \sigma} + \dfrac{1}{2}\sigma^2q^2\dfrac{\partial^2 V}{\partial \sigma^2} + rS\dfrac{\partial V}{\partial S} -rV = -(p-\lambda q)\dfrac{\partial V}{\partial \sigma}.$$ Aquí $\lambda$ se llama market price of risk ya que podemos entender $\lambda$ como $$d V -rV dt = q\dfrac{\partial V}{\partial S}(\lambda d t + d W_2) = q\Delta(\lambda d t + d W_2)$$ este es el unit of extra return .

Y tenemos otra forma de fijar el precio $V,$ el discounted value de $V$ es martingale , a saber $dt$ plazo de $d(e^{-rt} V)$ es cero, entonces encontramos que, la EDP de $V$ es exactamente $$\lambda = 0$$ en la PDE anterior. Entonces, ¿significa eso que el valor descontado de $V$ ¿la martingala equivale a que el precio de mercado del riesgo sea cero?

Answer 1

Creo que no has entendido la idea subyacente de la neutralidad del riesgo y el precio de mercado del riesgo.

La idea básica es valorar la opción con una cartera formada por el activo subyacente $S$ y otra opción. Para que esta cartera esté libre de riesgo y debido a los argumentos de no arbitraje, la variación de la cartera debe corresponder a la variación de la cartera libre de riesgo, es decir

$d\Pi= r\Pi dt$

Esto entrega (no comprobé los cálculos en detalle) la ecuación diferencial parcial con $V$ que obtuviste.

Tu error viene entonces cuando escribes:

$d\Pi- r\Pi dt\ $ = $\ q \Delta( \lambda dt+d W_2) $ .

Por supuesto, esto es imposible porque, dada la cartera sin riesgo, el lado izquierdo es cero pero el lado derecho es siempre diferente de cero cualquiera que sea el valor de $\lambda$ .

Probablemente esta fórmula es para la opción de precio:

$dV- rV dt\ $ = $\ q \Delta( \lambda dt+d W_2) $

que expresa la idea de compensación de riesgos mediante $\lambda$ .

El lado derecho contiene un término determinista en $dt$ y un término estocástico en $dW_2$ . El término en $dW_2$ muestra que la cartera es una cartera de riesgo y $\lambda$ puede interpretarse como el exceso de rentabilidad (además de la rentabilidad sin riesgo) $r$ ) por aceptar un determinado nivel de riesgo. Por un lado, tiene un riesgo, pero por otro lado, tiene un exceso de rentabilidad a través de $\lambda$ (lo que explica el nombre de "precio de mercado del riesgo").

Por la fórmula de Feynman-Kac, también podemos expresar esta EDP como una expectativa condicional, lo que justifica el enfoque de martingala. Pero en ninguna parte, en el razonamiento, tenemos que suponer que $\lambda=0$ . De lo contrario, significaría que la medida neutral de riesgo y la medida del mundo real coinciden, lo que no tiene mucho sentido.