Problema de elección del inversor

Question

Chicos, estoy atascado con un problema... Consideremos el problema de elección de cartera de un individuo con aversión al riesgo y con una función de utilidad estrictamente creciente. Existe un único activo de riesgo y un activo libre de riesgo. Formule el problema de elección del inversor y comente las condiciones de primer orden. ¿Cuál es la prima de riesgo mínima requerida para inducir al individuo a invertir toda su riqueza en el activo de riesgo?

Como sabemos que el problema de elección que debe resolver un inversor puede expresarse como

$\max_{a} \mathcal{E}[U(Y_1)] = \max \mathcal{E}[U(Y_0(1+r_f)+a(r_i-r_f))]$

Dónde $U( )$ es la función de utilidad del dinero y $\mathcal{E}$ el operador de expectativas. Además, $Y_1$ es la riqueza en el momento 1 mientras que $Y_0$ la riqueza en el momento 0, mientras que $a$ es la parte que debe invertirse en el activo de riesgo.

Diferenciando en la expectativa podemos resolver el problema de maximización y tenemos: $\mathcal{E}[(U'(Y_0(1+r_f)+a(r_i-r_f))(r_i-r_f)]=0$

El FOC que resuelve el problema, que se escribe en la solución del ejercicio, es

$\mathcal{E}[U'(Y_0(1+r_i)(r_i-r_f))]\geq0$

Desde $a=1$ . No entiendo por qué el BDC es esto... ¿Alguien puede explicarme mejor?

Answer 1

Intenta formular el problema como un restringido problema de optimización, y examinar las condiciones de holgura complementarias de KKT (Karush-Kuhn-Tucker).