¿Cómo encontrar la varianza de precio de un Árbol Binomial de expansión infinita?

Question

¿Cómo encontrar la variación de precio de un activo en un Modelo de Árbol Binomial? Suponga que el precio de la acción es $S_t$ en el tiempo $t$ y tiene una probabilidad de $p$ de que suba $u$ veces a $u \cdot S_t$ y una probabilidad $(1-p)$ de que baje a $d \cdot S_t$ en el tiempo $t+1$. Y así sucesivamente.

Estoy tratando de establecer el precio de una Opción Put Americana Perpetua cuyo precio está dado por $ V_{t} = K \left[ \frac{K}{S_{t}} \left( 1 - \frac{2r}{ 2r+\sigma^2 } \right) \right] ^{2r/\sigma^2 }$, donde $K$ es el Precio de Ejercicio, $V_t$ es el Precio de la opción en el tiempo $t$. $r$ es la tasa de interés libre de riesgo y $\sigma^2$ es la variación de precio de esta acción. Encontrar la variación de precio para un marco de tiempo finito es directo, pero cualquier recurso para encontrar lo mismo para el período de tiempo infinito sería útil. Gracias de antemano.

Answer 1

Espero haber entendido la esencia de tu pregunta, si no, puedo intentar ajustar esta respuesta.

Deja que el paso de tiempo en un árbol binomial sea $\Delta t \equiv \frac{T}{N}$. Para $N \to \infty$, la distribución del precio de la acción (de cualquier punto específico en el tiempo $t>t_0$) converge a la distribución lognormal con parámetro de escala $\log S_0 + (r-\frac{1}{2}\sigma^2)t$ y parámetro de forma $\sigma^2 t$, es decir,

$$S_t\sim \mathrm{LogNormal}(\log S_0 + (r-\frac{1}{2}\sigma^2)t,\, \sigma^2 t)$$

---

En un árbol binomial, la distribución del precio del activo en cualquier paso de tiempo futuro $t_k=k\Delta t$ es binomial:

$$ P(S_{t_k}=S_0\times U^l \times D^{k-l})=\binom{k}{l}p^l(1-p)^{k-l}\quad,l\in[0,\ldots,k]$$

Por lo tanto, el precio futuro esperado de la acción es

$$\mathrm{E}(S_{t_k})= S_0\sum_{l=0}^k\binom{k}{l}p^l(1-p)^{k-l}U^lD^{k-l}$$ Por definición, esto es igual a $S_0e^{r\times t_k }$, con $r$ la tasa de interés libre de riesgo compuesta continuamente. La varianza del precio futuro de la acción se puede encontrar como

$$\mathrm{Var}(S_{t_k})\equiv\mathrm{E}\left(\left(S_{t_k}-\mathrm{E}(S_{t_k})\right)^2\right)= \sum_{l=0}^{k}\binom{k}{l}p^l(1-p)^{k-l}S_0^2\left(U^{2l-k}-e^{r\times t_k}\right)^2$$

Nota: Obviamente, la distribución binomial convergerá a la lognormal para $\Delta t \to 0$, no para $t_k\to \infty$ para cualquier $N$.