La posición de partida es un modelo agente-principal con información incompleta (riesgo moral) y las siguientes propiedades:
- Utilidad de los agentes: $u(z)=-e^{(-r_az)}$
- Utilidad principal: $B(z)=-e^{(-r_pz)}$
- Niveles de esfuerzo $e\in \Bbb R $
- Resultados $x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu'(e)>0, \mu''(e)\le0$
- Contrato: $w(x)=a+bx$ ,
donde $r_A$ y $r_P$ es la medida Arrow-Pratt de aversión al riesgo absoluta para el agente y el principal, respectivamente.
Busco el contrato óptimo que el principal ofrece al agente cuando el esfuerzo del agente no es visible. La utilidad del principal puede escribirse como sigue:
$$U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx$$
Quiero demostrar que la siguiente equivalencia se mantiene, lo que significa que la maximización de la utilidad del principal se puede escribir como el RHS de la siguiente equivalencia:
$$\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2$$
donde $f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}$ es la función de densidad de una variable aleatoria normal $x\sim N(\mu(e),\sigma)$ con valor esperado $\mu(e)$ y la varianza $\sigma>0$ .
He intentado utilizar la forma explícita de $f(x|e)$ en el LHS, manipularlo un poco y luego itegrarlo pero no pudo obtener la equivalencia.
