LEN-Equivalencia de modelos

Question

La posición de partida es un modelo agente-principal con información incompleta (riesgo moral) y las siguientes propiedades:

• Utilidad de los agentes: $u(z)=-e^{(-r_az)}$
• Utilidad principal: $B(z)=-e^{(-r_pz)}$
• Niveles de esfuerzo $e\in \Bbb R$
• Resultados $x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu'(e)>0, \mu''(e)\le0$
• Contrato: $w(x)=a+bx$ ,

donde $r_A$ y $r_P$ es la medida Arrow-Pratt de aversión al riesgo absoluta para el agente y el principal, respectivamente.

Busco el contrato óptimo que el principal ofrece al agente cuando el esfuerzo del agente no es visible. La utilidad del principal puede escribirse como sigue:

$$U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx$$

Quiero demostrar que la siguiente equivalencia se mantiene, lo que significa que la maximización de la utilidad del principal se puede escribir como el RHS de la siguiente equivalencia:

$$\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2$$

donde $f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}$ es la función de densidad de una variable aleatoria normal $x\sim N(\mu(e),\sigma)$ con valor esperado $\mu(e)$ y la varianza $\sigma>0$ .

He intentado utilizar la forma explícita de $f(x|e)$ en el LHS, manipularlo un poco y luego itegrarlo pero no pudo obtener la equivalencia.

Answer 1

El punto principal es que la utilidad esperada del principal de un pago $z$ condicionada a un determinado nivel de esfuerzo $e$ puede escribirse como

$$\text{E}[{z}|e] - \frac{r_p}{2}\text{Var}(z|e).$$

En otras palabras, dado que la riqueza se distribuye normalmente, la utilidad exponencial tiene una representación simple de "media-varianza". Para una derivación, véase aquí .

Supongo que el pago del director $z$ es igual a $x - w(x) = (1 - b)x - a$ . A continuación, es sencillo calcular la media y la varianza (condicional) de $z$ :

$$\text{E}[z|e] = (1 - b)\text{E}[x|e] - \text{E}[a] = (1 - b)\mu(e) - a,$$

$$\text{Var}[z|e] = (1 - b)^2 \text{Var}(x|e) - \text{Var}(a)= (1 - b)^2\sigma^2.$$

De ello se desprende que la utilidad esperada del principal puede escribirse como

$$(1 - b)\mu(e) - a - \frac{r_p}{2}(1 - b)^2\sigma^2.$$