¿Cómo se integra una función a trozos y qué es el punto y coma en la notación de funciones?

Question

Estoy tratando de obtener el cdf de un pdf, que, según este vídeo del curso abierto del MIT , es tan sencillo como obtener la integral de - $\infty$ a $\infty$ . Así:

$$ F_z(z) = \int_{-\infty}^\infty f_z(z)dz\, = 1 $$

Y eso funciona para funciones como ésta: $f_x(X)$

Pero ¿qué pasa con una función como esta $f(X;\beta)$ ?

Sí, este es un problema de tarea, así que no espero una respuesta exacta, pero espero que algunos principios generales. Me cuesta googlear para aprender a hacer esto porque no sé cómo llamar a este tipo de funciones $f(X;\beta)$ y no sé cómo escribir un $\beta$ en Google.

El pdf que tengo es:

$$ f(X;\beta)= \begin{cases} \frac {e^{-X/\beta}}{\beta}, & \ X\geq0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} $$

y el cdf que resulta es: $$ f(X;\theta)=1-e^{-X/\beta} $$

Parte de mi pregunta es también, ¿por qué el $f(X;\beta)$ se convierten en $f(X;\theta)$ ?

Answer 1

CDF = integral de la PDF de $-\infty$ a $x$ o:

$F\left(x\right) = \int_{-\infty}^{x} f\left(u\right) du$ .

Funciones como $f\left(x;\beta\right)$ toma $\beta$ como los parámetros, el $\beta$ índice diferentes funciones de densidad de probabilidad. No es necesario integrar sobre ellas para obtener la FCD.

$F\left(x;\beta\right) = \int_{-\infty}^{x} f\left(u;\beta\right)du$ .

Answer 2

Además de lo que ha dicho Juan (habría comentado su respuesta, pero no tengo suficiente reputación). Y esto no es condicional, condicional sería $f(X|\beta)$

$$ F_X(x;\beta) = P(X \leq x; \beta=\theta) = \int_{-\infty}^{x} f_X(x;\beta) dx $$

Arreglamos $x=u$ y $\beta=\theta$

$$ P(X \leq u; \theta)=\int_{-\infty}^u f_X(u;\theta) du $$

$$ = \int_{- \infty}^0 f(u;\theta) du + \int_0^x f(u; \theta) du $$

$$ = 0 + \int_0^x \frac{e^{-u/\theta}}{\theta} du $$

$$ = 1 - e^{-x/\theta}$$

Entonces, sobre el conjunto $X$ y y en valores particulares $\beta=\theta$

$$ F_X(X;\theta) = 1 - e^{-X/\beta}$$