¿Cuál es la rentabilidad del activo de riesgo en la prueba de optimización de la utilidad directa?

Question

Estoy intentando hacer esta optimización de cartera para una inversión a un mes entre el S&P 500 como activo de riesgo y un activo sin riesgo:

Supongamos que tengo una función de utilidad de la energía, una tasa libre de riesgo interpolada para un mes y una función de distribución implícita de la opción de los rendimientos del mes siguiente. Para encontrar los dos alfa como pesos óptimos de mi cartera, necesito conocer la rentabilidad del activo de riesgo, es decir $r_{t+1}$ . ¿Qué debo utilizar para ello?
Y cuando quiero maximizar la utilidad, debo tomarla como una constante en el $dF(r_{t+1})$ ? es decir $dF$ es un número constante que no jugará ningún papel en el problema de maximización?

Answer 1

Su pregunta es muy confusa. Pero vayamos por partes:

1. Dices que tienes utilidad eléctrica así que tu utilidad es: $\frac{W_{t+1}^{1-\gamma}}{1-\gamma}$
2. Tiene un número de tasa libre de riesgo
3. Tienes una distribución implícita en la opción para los rendimientos de las acciones, así que eso debería darte dos vectores, uno con los rendimientos $r_{t+1}$ y otra con probabilidades $dF(r_{t+1}$ ).
4. Dada la naturaleza no paramétrica del problema (ya que tienes una distribución de rendimientos) necesitas resolver el problema numéricamente. A continuación un ejemplo ficticio usando matlab. Donde asumo una distribución libre de riesgo, una gamma, una distribución para los retornos.
5. El resultado de esa calibración es asignar 0,62 al activo de riesgo y el resto al libre de riesgo.

clearvars 
gamma = 10;
rf = 0.02;
ret = -0.02:0.01:0.07; %10 possible returns between -0.02 and 0.07
prob = 1/size(ret,2)*ones(size(ret,2),1); %Same probabilities each

% Now the maximization problem 

alpha = (0.00:0.01:1.0)'; %grid for alpha

ExpUtility = zeros(size(alpha,1),1);
for i=1:size(prob,1)

   ExpUtility = ExpUtility + prob(i)*(((1+alpha*ret(i) + (1-alpha)*rf)).^(1-gamma))/(1-gamma);

end

[maximum, index] = max(ExpUtility);

sum(ret'.*prob)
alpha(index)

Answer 2

Escribí este código en R que creo que es mejor para una función de distribución continua.

Utility <- function(r_t)    (-1/ARA) *  exp( (1 + a_t*r_t + (1-a_t) * r_f) * (-ARA) )

 MaxiProb <- function(r_t)  Utility(r_t) * realPDF(r_t)

 alpha <- seq(-1,2 , 0.01)
 ExpUtility <- rep(0 , length(alpha))

     for (i in seq_along(alpha)) {
      a_t <- alpha[i]
  ExpUtility[i] <- integral(MaxiProb , -Inf , Inf )  
}

Primero defino la función de utilidad y el producto de la utilidad y la PDF para encontrar $U(r_{t+1}) dF({t+1})$ . Entonces defino alfa y utilidad esperada que es exponencial negativa, y calculo la integral para cada alfa para encontrar las posibles utilidades esperadas. Entonces puedo encontrar el alfa que da la mayor utilidad esperada aquí:

alpha[which.max(ExpUtility)]

Por supuesto, el código no es reproducible ya que el PDF no está disponible aquí, pero permite entender de qué estoy hablando.