Demostrar que $E[g(X_T)|\mathscr F_t] = E[g(X_T)|X_t]$

Question

Dejemos que $T > 0$ . Dejemos que $(\Omega, \mathscr F, \{\mathscr F_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$ sea un espacio de probabilidad filtrado donde $\mathscr F_t = \sigma(W_u, u \in [0,t])$ donde $W_t$ es un movimiento browniano estándar.

Sea el proceso estocástico $X=(X_t)_{t \in [0,T]}$ resolver la SDE

$$dX_t = \beta(t,X_t)dt + \sigma(t, X_t)dW_t$$

con la condición inicial $X_t = x$ donde $x \in \mathbb R$

Demostrar que

$$E[g(X_T)|\mathscr F_t] = E[g(X_T)|X_t]$$

donde $g$ es una función medible por Borel y $E[|g(X_T)||X_t=x] < \infty$

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Lo que he probado: $\forall t \in [0,T]$ .

$$X_t = X_0 + \int_0^t \beta du + \int_0^t \sigma dW_t$$

Elija $t=T$ para conseguirlo:

$$X_T = X_0 + \int_0^T \beta du + \int_0^T \sigma dW_t$$

$$\to X_T = X_t + \int_t^T \beta du + \int_t^T \sigma dW_t$$

Definir otra función medible por Borel $h(x,y)$ s.t.

$$h(X_t, W_t) := g(X_t + \int_t^T \beta du + \int_t^T \sigma dW_t)$$

$$\to g(X_T) = h(X_t, W_t)$$

$\because X_t \in m\mathscr F_t$ y $W_t$ es independiente de $\mathscr F_t$ tenemos

$$E[h(X_t, W_t)|\mathscr F_t] = E[h(x, W_t)]|_{x=X_t} \tag{*}$$

También, $\because X_t \in m\mathscr F_t$ , $W_t$ es independiente de $X_t$ .

Así,

$\because X_t \in mX_t$ y $W_t$ es independiente de $X_t$ tenemos

$$E[h(X_t, W_t)|X_t] = E[h(x, W_t)]|_{x=X_t} \tag{**}$$

Combinando $(*)$ y $(**)$ nos da lo que queremos. QED

¿Es eso cierto? ¿Hay que hacer alguna otra suposición, como la continuidad, la integrabilidad o la acotación?

Answer 1

Esto es un corolario del teorema de Feynman-Kac. Por razones de autocontención, reproduzco la prueba como sigue.

Supongamos que existe un $C^{1,2}$ -función $F=F(t,x)$ definido en $[0,T]\times\mathbb{R}$ que satisface la EDP en el interior $$ F_{t}+\beta F_{x}+\frac{1}{2}\sigma^{2}F_{xx}=0, $$ y la condición de contorno: $F(T,x)=g(x)$ . Considere el proceso $\left(F(t,X_{t})\right)_{t}$ . Por el lema de Ito, \begin{eqnarray*} & & dF(t,X_{t})\\ & = & F_{t}dt+F_{x}dX_{t}+\frac{1}{2}F_{xx}dX_{t}dX_{t}\\ & = & \left\{ F_{t}+\beta F_{x}+\frac{1}{2}\sigma^{2}F_{xx}\right\} dt+\sigma F_{x}dW_{t}\\ & = & \sigma F_{x}dW_{t}. \end{eqnarray*} (En lo anterior, $\beta$ , $\sigma$ y todas las derivadas parciales de $F$ se evalúan en $(t,X_{t})$ (es decir, $\beta$ denota $\beta(t,X_{t})$ , etc...) Suponiendo una acotación suficiente sobre el proceso $\left(\sigma(t,X_{t})F_{x}(t,X_{t})\right)_{t}$ , $\left(F(t,X_{t})\right)_t$ es una martingala (y no sólo una martingala local). Por lo tanto, \begin{eqnarray*} F(t,X_{t}) & = & E\left[F(T,X_{T})\mid\mathcal{F}_{t}\right]\\ & = & E\left[g(X_{T})\mid\mathcal{F}_{t}\right]\mbox{ a.s.} \end{eqnarray*} Obsérvese que el lado izquierdo es $\sigma(X_{t})$ -medible, también el lado derecho, el resultado es el siguiente. Para mayor claridad, elaboro los detalles de la siguiente manera: Claramente $\sigma(X_{t})\subseteq\mathcal{F}_{t}$ . Por lo tanto, por la propiedad de la torre de la expectativa condicional, tenemos \begin{eqnarray*} & & E\left[g(X_{T})\mid X_{t}\right]\\ & = & E\left[E\left[g(X_{T})\mid\mathcal{F}_{t}\right]\mid X_{t}\right]\\ & = & E\left[F(t,X_{t})\mid X_{t}\right]\\ & = & F(t,X_{t})\\ & = & E\left[g(X_{T})\mid\mathcal{F}_{t}\right]. \end{eqnarray*}

Observaciones: No tengo suficientes conocimientos sobre PDE, por lo que no estoy seguro de que la función $F$ definido en lo anterior realmente existe.