¿Distribución de probabilidad del valor máximo de la opción binaria?

Question

Una opción binaria con pago \$0/\$ 100 se cotiza a \$30 con 12 horas para de la expiración.

Suponiendo que el subyacente sigue un movimiento browniano geométrico (por tanto, la volatilidad permanece constante), ¿qué distribución de probabilidad describe el precio máximo de la opción de aquí a su vencimiento?

Estoy buscando una "fórmula" genérica. Aunque he utilizado el precio y la vencimiento, estoy asumiendo que la fórmula genérica es una función de volatilidad (por supuesto, el precio y el vencimiento determinan la volatilidad).

Más concretamente:

Supongamos que el tiempo hasta el vencimiento es corto y, por tanto, los tipos de interés y los dividendos son nulos.

El tiempo $t$ Precio del negro (subyacente $S_t$ es un GBM $dS_t = \sigma S_t dW_t$ , $\sigma>0$ número constante) de un $K$ -pago de la opción de compra binaria (digital) "cash-or-nothing" (efectivo o nada) $1_{\{S_T>K\}}$ dólares en el momento del vencimiento $T$ es $$P_t\triangleq \Phi\left(\frac{\ln(S_t/K)-0.5\sigma^2(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right).$$

Nos interesa la distribución (o simplemente el tiempo $0$ expectativa) de la variable:

$$\max_{t\in[0,T]} P_t, $$ (con el $T$ , $K$ y $\sigma$ ) al igual que uno está interesado en la distribución (o simplemente en el tiempo $0$ expectativa) de $$\max_{t\in[0,T]} S_t.$$

Answer 1

Creo que esto se puede resolver utilizando el teorema de la reflexión: $$P(\max S_t > x) = 2 P (S_T > x)$$ Por lo tanto, las densidades requeridas pueden obtenerse únicamente a partir de la distribución de $S_T$ .

Existe una correspondencia de uno a uno entre $\max P_t$ y $\max S_t$ para que $$P (\max P_t < y) = P (\max S_t < g(y) )$$ donde la función $g$ es la inversa de la función para $P_t$ en términos de $S_t$ que se indica en el PO.

Siguiendo esa lógica obtengo para la respuesta final

$$P (\max P_t < y) = 1 - 2 N \left[ \frac{\ln(S_0/K)}{ \sigma \sqrt{T}} - InvN(y) - \sigma \sqrt{T}\right]$$

donde $N[]$ es la distribución normal acumulativa, $InvN[]$ es su inversa, $S_0$ es el precio de las acciones hoy.

Tengo que decir que no estoy 100% seguro del álgebra.