Los precios de las opciones de compra y de las opciones de venta son iguales al precio a plazo - ¿Por qué?

Question

Considere una compra y una venta europeas con valores $C_t$ y $P_t$ respectivamente, según el modelo Black-Scholes. Por paridad put-call, $$C_t - P_t = S_t - Ke^{-r(T-t)}$$ para el tiempo de caducidad $T$ . Tenga en cuenta que $K = S_te^{r(T-t)}$ obtenemos $$C_t = P_t. \qquad (1)$$ Por supuesto, $S_te^{r(T-t)}$ es el tiempo $T$ -precio a plazo de la acción en el momento $t$ que se obtiene a partir de un ningún argumento de arbitraje y no sólo tomar las expectativas. Eso es, $$S_te^{r(T-t)} \neq E_P(S_T \mid S_t) = S_te^{\mu(T-t)},$$ donde $P$ es la medida física y $\mu$ la tasa de deriva.

Veo que (1) se mantiene simplemente por la paridad put-call, pero estoy buscando una comprensión más profunda. Es que, los precios de compra y venta son iguales porque, bajo la medida de riesgo neutral $Q$ El valor esperado de la acción es el precio de ejercicio (que es el precio a plazo en este caso). Es decir, $$S_te^{r(T-t)} = E_Q(S_T \mid S_t) = K,$$ y, por tanto, la acción tiene la misma probabilidad de terminar por encima o por debajo del precio de ejercicio? ¿O hay algo más profundo, como un argumento de no arbitraje?

Answer 1

Ciertamente, debe estar de acuerdo en que $$C_{T}-P_{T}=\left(S_{T}-K\right)^{+}-\left(K-S_{T}\right)^{+}=S_{T}-K.$$ Por lo tanto, ya que $$C_{t}=e^{-r\left(T-t\right)}E_{Q}\left[C_{T}\right]\text{ and }P_{t}=e^{-r\left(T-t\right)}E_{Q}\left[P_{T}\right]$$ se deduce por la linealidad de $E$ que $$C_{t}-P_{t}=e^{-r\left(T-t\right)}E_{Q}\left[C_{T}-P_{T}\mid \mathcal{F}_{t}\right]=e^{-r\left(T-t\right)}E_{Q}\left[S_{T}-K\mid \mathcal{F}_{t}\right]=e^{-r\left(T-t\right)}\left(e^{r(T-t)}S_{t}-K\right).$$ Sigue la paridad put-call.

Answer 2

La paridad Call-Put $$C_{T}-P_{T}=\left(S_{T}-K\right)^{+}-\left(K-S_{T}\right)^{+}=S_{T}-K$$ existirá bajo cualquier condición, ya que es un hecho matemático.

Sin embargo, creo que la respuesta directa a su pregunta $$K = S_te^{r(T-t)} => C_{t} = P_{t}$$ es : no siempre, sino sólo bajo un mercado eficiente, es decir, sin arbitraje, sin fricciones y completo.

Se puede pensar en un escenario de mercado no tan raro cuando una empresa muy popular emite sus primeras acciones. Las expectativas del mercado respecto a las acciones son altas. No es raro que las opciones de compra estén muy sobrevaloradas en comparación con las de venta. Incluso cuando $K = S_te^{r(T-t)}$ , puede encontrar que $C_{t} >> P_{t}$ . Esto puede parecer un caso de arbitraje transitorio, pero piense en un escenario opuesto en el caso de una acción en dificultades: la falta de liquidez puede ser el problema allí. La hipótesis del mercado eficiente no es válida en estos casos.

Fundamentalmente creo que la definición del precio a plazo es la que lleva a que los precios de compra y de venta sean iguales, y no al revés, es decir. $$C_{t} = P_{t} => K = E\left[S_{T} \right]$$ Esto es inverso a su pregunta, pero hay una sutil diferencia que es importante.

Este precio a plazo es el precio futuro esperado del activo bajo alguna medida. Sucede que sólo bajo la hipótesis del mercado eficiente una medida neutral al riesgo $Q$ se puede demostrar que existe, y se puede utilizar para demostrar que este precio a plazo es igual al precio futuro esperado $K = E_{Q}\left[S_{T} | S_{t} \right] = S_te^{r(T-t)}$ .

Un especulador puede definir una medida de probabilidad alternativa $P$ bajo el cual $E_{P}\left[S_{T} | S_{t} \right] > S_te^{r(T-t)}$ . Especulará con diferentes precios de compra y venta bajo esta medida, pero la paridad de compra y venta se mantendrá. $$C_{t}^{P} - P_{t}^{P} = E_{P}\left[(S_{T} - K)^{+}| S_{t}\right] - E_{P}\left[(K - S_{T})^{+} | S_{t}\right] = E_{P}\left[S_{T} | S_{t}\right] - K > 0$$