¿Qué aspecto tiene una asignación interior Pareto-eficiente en esta situación?

Question

"Ayer tuve una pregunta en un trabajo intermedio (ya presentado). Una pregunta me dejó un poco perplejo. En particular, la parte de la "asignación interior pareto-eficiente" me dejó perplejo (explicaré cómo respondí después de la pregunta). Esta es la pregunta:

$$ U_i(c_i)= \sum_{t=1}^{} \beta_{i}^{t-1} u_{i} (c_{it}) $$

donde $$ 0 <\beta_{^i} < 1 $$ y $u_{i}$ es dos veces continuamente diferenciable con $u_i^(z) > 0$ y $u^{}_i (z) < 0$ y satisface $\lim\limits_{z \to 0} u^_i(z) = \infty$ y $\lim\limits_{z\to \infty}u^_i(z) = 0$ .

Supongamos que todos los $\beta_i$ son distintos.

Considere que se dispone de 1 unidad del bien en cada periodo. Describa cómo es la asignación interior pareto-eficiente y explique por qué."

Entonces, creo que mi respuesta es incorrecta, pero escribí que cada período tiene una asignación eficiente de Pareto porque aleatoriamente (no sabemos cómo), un agente recibe el bien y eso significa que su utilidad aumenta y la de los otros n-1 agentes no disminuye. Además, no hay producción ni intercambio, por lo que la asignación de Pareto (a través de la forma de igualación de la tasa marginal de las utilidades) no entra en juego

Estos son mis pensamientos. Estaba bastante perplejo.

(He supuesto, porque no estaban en la pregunta, que el bien no es divisible, que no se permite el intercambio y que no sabemos cómo se produce la asignación).

Answer 1

El reparto óptimo de Pareto puede encontrarse maximizando la suma ponderada de las utilidades individuales. Sea $\alpha_i$ sea el peso del individuo $i$ . Entonces tenemos el siguiente problema de maximización: $$ \max \sum_i \alpha_i \sum_{t = 0}^\infty \beta_i^{t-1} u_t(c_{i,t}) \text{ s.t. } \sum_i c_{i,t} = 1\,\,\, \forall t $$ Las condiciones de primer orden para este problema son: $$ \begin{align*} &\alpha_i \beta^{t-1}_i u'_i(c_{i,t}) = \lambda_t,\,\, \forall i\forall t,\\ &\sum_i c_{i,t} = 1 \,\, \forall t \end{align*} $$ No hay soluciones de esquina (dadas las condiciones de Inada)

Sabemos que $u_i'(.)$ es estrictamente decreciente. Sea $\gamma_i$ sea la inversa, entonces: $$ c_{i,t} = \gamma_i\left(\frac{\lambda_t}{\alpha_i \beta_i^{t-1}}\right) $$ Sabemos que $\gamma_i > 0$ con $\lim_{x \to 0} \gamma_i(x) = \infty$ y $\lim_{x \to \infty} \gamma_i(x) = 0$ .

Si sustituimos esto en la restricción presupuestaria, obtenemos: $$ \sum_i \gamma_i \left(\frac{\lambda_t}{\alpha_i \beta_i^{t-1}}\right) = 1. $$ Las funciones $\gamma_i$ son estrictamente decrecientes. Si $\lambda_t \to 0$ entonces el lado izquierdo converge a $\infty$ mientras que si $\gamma_t \to \infty$ entonces el lado izquierdo converge a 0.

Por lo tanto, hay exactamente un único valor de $\lambda_t$ que satisfaga esta condición. Por lo tanto, el valor óptimo de $c_{i,t}$ (dados los valores $\alpha_i$ ) será único.

Ahora, tomando las condiciones de primer orden para dos individuos y tomando su cociente da: $$ \frac{\alpha_i \beta_i^{t-1} u_i'(c_{i,t})}{\alpha_j \beta_j^{t-1} u_j'(c_{t,j})} = 1,\\ \to \frac{u_i'(c_{t,i})}{u_j'(c_{t,j})} = \frac{\alpha_j}{\alpha_i} \left(\frac{\beta_j}{\beta_i}\right)^{t-1} $$ Entonces: $$ \frac{u_i'(c_{t+1,i})}{u_j'(c_{t+1,j})} = \frac{\beta_j}{\beta_i} \frac{u_i'(c_{t,i})}{u_j'(c_{t,j})} $$ Esto demuestra que si $\beta_j > \beta_i$ es decir, el individuo $j$ es más paciente que el individuo $i$ entonces la utilidad marginal del individuo $i$ debe ser creciente en relación con el de los individuos $j$ . Por lo tanto, en términos relativos, los individuos más impacientes ven su consumo disminuir, mientras que los más pacientes ven su consumo aumentar.