Cálculo del diferencial de Itô del proceso de expectativa condicional (Heston SDE)

Question

Pasando por este artículo en el modelo de Heston, donde la varianza evoluciona siguiendo la SDE \begin{equation} \label{sd1} d\sigma^2_t = \kappa \bigg( m - \color{red}{\sigma^2_t} \bigg)dt + \nu \sqrt {\sigma^2_t} dW_t \end{equation} con $\kappa, m, \nu$ siendo constantes, y $W_t$ un movimiento browniano (las erratas corregidas se muestran en rojo).

el autor define \begin{equation} \label{sd} M_t := \int_0^T \mathbb{E}[\sigma^2_s \vert \mathcal{F}_t ] ds \end{equation}

y luego procede a afirmar (sin más detalles) que \begin{equation} \label{sd2} dM_t = \nu \sqrt {\sigma^2_t} \bigg( \int_t^T \exp[-\kappa(s-t)] ds \bigg)dW_t \end{equation}

¿Cómo se puede utilizar el lema de Itô para calcular el diferencial? He pensado en definir primero $X_t := \mathbb{E}[\sigma^2_s \vert \mathcal{F}_t ]$ y la informática $dX_t$ pero no sé realmente cómo proceder.

Gracias por leer

Answer 1

Esa no es la SDE para el modelo Heston - viola la propiedad afín en el término de deriva. En otras palabras, el artículo tiene una errata. La SDE correcta es:

$$ d v_t = \kappa (m-v_t) dt + \nu \sqrt{v_t} dw_t $$ donde $v_t := \sigma_t^2$ es la varianza.

Dejemos que $\xi_t^T := \mathbb{E}_t [ v_T]$ denotan la varianza hacia adelante y ven que

$$ \begin{align} \xi_{t}^{T} & = \mathbb{E}_t [ v_T] \\ & = \mathbb{E}_t \left[ v_t + \int_{t}^{T} \kappa (m-v_u) du + \int_{t}^{T} \nu \sqrt{v_u} dw_u \right] \\ & = v_t + \int_{t}^{T} \kappa (m- \xi_t^u ) d u \end{align} $$ En forma diferencial (con respecto a $T$ ) $$ d \xi_t^T = k (m-\xi_t^T) dT $$ Utilizando el método del factor integrador se obtiene $\xi$ para ser $$ \xi_t^T = m + e^{-\kappa (T-t)} ( \xi_t^t - m) $$ En formato diferencial (con respecto a $t$ ) $$ d \xi_t^T = e^{-\kappa (T-t)} \nu \sqrt{\xi_t^t} dw_t $$ Por lo tanto, el diferencial para $M$ (con respecto a $t$ ) es $$ d M_t = \int_{0}^{T} d \xi_t^s ds = \nu \sqrt{v_t} \left[ \int_{0}^{T} e^{-\kappa (s-t)} ds \right] d w_t $$