Precio Arrow-Debreu en "La sonrisa de la volatilidad y su árbol implícito"

Question

Estaba leyendo el viejo, pero todavía interesante papel "La sonrisa de la volatilidad y su árbol implícito" por Derman y Kani. Tengo dos preguntas sobre la derivación de la $2n+1$ ecuaciones, ambas relativas al precio de Arrow-Debreu. En la página 6, se muestra en la figura 4 cómo se configura el modelo. En la página siguiente los autores escriben:

$$C(K,t_{n+1})=\exp{(-r\Delta t)}\sum_{j=1}^n\{\lambda_jp_j+\lambda_{j+1}(1-p_{j+1})\}\max{\{S_{j+1}-K,0\}}$$

donde $C(K,t_{n+1}$ denota el precio de una opción de compra con strike $K$ y caducidad y caducidad $t_{n+1}$ . El primer término de la suma son las probabilidades. Sin embargo, como $p_j$ ya es la probabilidad neutra al riesgo por qué los autores las multiplican por $\lambda_j$ ? $\lambda_j$ es el precio Arrow-Debreu conocido en el nodo $(n,i)$ . Nunca he oído hablar de un precio Arrow-Debreu. Después de comprobar la web todavía no está claro para mí, ¿cuál es la razón de esta ecuación.

Además, utilizando la ecuación anterior, debería haber un $\lambda_{n+1}$ lo que no es el caso. Entonces, ¿se trata sólo de poner $0$ ?

Answer 1

Utilizamos las notaciones de Derman y Kani.

Precios Arrow-Debreu

El precio de Arrow-Debreu $\lambda_i$ es el precio del valor $\Lambda_i$ pagando \$1 in node $ (n, i) $, and \$ 0 en todos los demás estados $(n, j)$ , para $j \neq i$ .

Dejemos que $\mathbb{P}_{n,j}$ sea la probabilidad neutral al riesgo de llegar al estado $(n,j)$ , del estado $(1,1)$ .

El precio de $\Lambda_i$ es la expectativa neutra de riesgo de su pago descontado, que es simplemente $$\lambda_i = e^{-rt_n}\mathbb{P}_{n,i}$$

Precio de la llamada

El precio de la opción de compra es la expectativa neutra de riesgo de su pago descontado: \begin{eqnarray} \tag{1} C(K, t_{n+1}) & =& e^{-rt_{n+1}}\mathbb{E}(S_{t_{n+1}} - K)^+ \\ &=& e^{-rt_{n+1}} \sum\limits_{j=1}^{n} \mathbb{P}_{n+1,j+1} (S_{j+1} - K)^+ \end{eqnarray}

Ahora, en el árbol binomial, hay dos formas de llegar al estado $(n+1, j+1)$ :

• o bien estabas en el estado $(n,j)$ (probabilidad $\mathbb{P}_{n,j} $ ) y tú subiste (probabilidad $p_{j}$ ),
• o que estuvieras en el estado $(n,j+1)$ (probabilidad $\mathbb{P}_{n,j+1}$ ) y tú bajaste (probabilidad $1-p_{j+1}$ )

Por lo tanto: \begin{eqnarray} \mathbb{P_{n+1,j+1}} &=& p_j\mathbb{P_{n,j}} + (1-p_{j+1})\mathbb{P}_{n,j+1} \\&=& e^{rt_n}\left[p_j \lambda_j + (1-p_{j+1})\lambda_{j+1} \right] \tag{2} \end{eqnarray}

El único caso en el que (2) no se cumple es cuando se está en un nodo extremo, se puede resolver este problema estableciendo $\lambda_{n+1}=0$ .

La fórmula de Derman y Kani se obtiene insertando (2) en (1).

La intuición aquí es que los precios de Arrow-Debreu capturan toda la información que se necesita de $t_0$ a $t_n$ para que sólo tengas que preocuparte de lo que ocurre entre $t_n$ y $t_{n+1}$