Fórmula para la varianza incondicional de la suma de observaciones de una serie temporal autorregresiva

Question

Tengo notas que dicen que podemos hacer los siguientes cálculos. Estoy un poco confundido sobre algunos de los cálculos que se hacen. ¿Qué supuestos necesitaría para obtener los siguientes resultados? ¿O hay errores? En concreto, me confunde la ecuación (1) que aparece a continuación. En particular, me resulta extraña porque si dejo que $\rho = -1$ entonces la ecuación (1) da a veces una varianza negativa. (Tal vez el cálculo sea indefinido cuando $\rho = -1$ ?)

Dejemos que $r_{t,t+n} = \sum_{i=1}^n r_{t+i}$ . Supongamos que $r_t$ es un proceso AR(1) (digamos que con errores dados por una distribución Normal de media cero con varianza $\sigma^2$ ) donde $$ \text{Cov}(r_t,r_{t+j}) = \rho^j \sigma^2 $$ y por lo tanto $$ \text{Corr}(r_t, r_{t+j}) = \rho^j. $$

Las notas que tengo dicen que $\text{Var}(r_{t,t+2}) = 2(1 + \rho) \sigma^2$ y que $$ \text{Var}(r_{t,t+n}) = \left( n + 2 \sum_{i=1}^{n-1} \rho^i (n-i) \right) \sigma^2. \tag{1} $$

(Por cierto, esta pregunta se refiere a los rendimientos acumulados (logarítmicos)).

Answer 1

Para un proceso AR(1) (omito cualquier deriva), el coeficiente del retardo es el coeficiente de correlación de primer orden,

$$r_{t+1} = \rho r_t + u_{t+1}$$

Así que

$$r_{t,t+2} = \sum_{i=1}^2 r_{t+i} = r_{t+1} + r_{t+2} = \rho r_t + u_{t+1} + \rho r_{t+1} + u_{t+2} $$

$$=\rho r_t + u_{t+1} + \rho \big(\rho r_t + u_{t+1}\big) + u_{t+2} = \rho(1+\rho)r_t+(1+\rho)u_{t+1} + u_{t+2}$$

y ahora los tres componentes son independientes. Así que

$${\rm Var}(r_{t,t+2}) = \rho^2(1+\rho)^2\frac {\sigma^2}{1-\rho^2}+ (1+\rho)^2\sigma^2 +\sigma^2$$

$$=\left( (1+\rho)^2\frac {\rho^2+1-\rho^2}{1-\rho^2}+1\right)\cdot \sigma^2$$

$$=\left( \frac {1+\rho}{1-\rho}+1\right)\cdot \sigma^2 = \frac {2}{1-\rho}\sigma^2$$

Así que llegamos a una fórmula diferente para ${\rm Var}(r_{t,t+2})$ comparada con la proporcionada en estas notas, y llegaremos también a una expresión diferente para el general $n$ .

Obsérvese que mi resultado es válido para $\rho =-1$ , dando ${\rm Var}(r_{t,t+2}) = \sigma^2$ en este caso ya que aquí

$$r_{t+1} = - r_t + u_{t+1}$$

y así

$$r_{t+1} + r_{t+2} = - r_t + u_{t+1}- r_{t+1} + u_{t+2} = - r_t + u_{t+1} - \big(- r_t + u_{t+1}\big) + u_{t+2} = u_{t+2}$$

Answer 2

Ok. He cometido algunos pequeños errores de cálculo y me he confundido aquí. Los apuntes tienen sentido con las siguientes suposiciones notacionales. Si escribo el proceso AR(1) como sigue (ignorando la deriva) $$ r_{t+1} = r_t + \epsilon_{t+1}, $$ entonces tenemos $\text{Cov}(r_t, r_{t+j}) = \frac{\rho^j}{1 - \rho^2} \sigma_\epsilon^2$ , donde $\sigma^2_\epsilon := Var(\epsilon)$ . El punto que debería haber captado en las notas era exactamente el punto de que la varianza es incondicional y así $\text{Var}(r_t) = \sigma^2 = \frac{1}{1 - \rho^2} \sigma_\epsilon^2$ es la varianza incondicional (la serie temporal es estacionaria sólo cuando $|\rho| < 1$ Así que tenga cuidado cuando utilice $\rho = -1$ como se ha mencionado anteriormente). Con esta definición, todo funciona. En primer lugar, hay que tener en cuenta que $$ \text{Cov}(r_t, r_{t+j}) = \frac{\rho^j}{1 - \rho^2} \sigma_\epsilon^2 = \rho^j \sigma^2, $$ como se ha señalado anteriormente. Entonces, observe también que \begin{align} \text{Var}(r_{t,t+n}) &= \text{Var}\left (\sum_{i=1}^n r_{t+i} \right) \\ &= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \text{Cov}(r_{t+1}, r_{t+j}) \\ &= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \rho^{|i - j|} \sigma^2 \\ &= \left (n + 2 \sum_{i=1}^{n-1} \rho^j (n - i) \right) \sigma^2. \end{align} Así que todo se soluciona.