La media condicional de $Y$ dado $X$ es: $$E[Y|X]=\int yf(y|x)dy$$ ¿Cuál es la relación con el modelo lineal? He leído en alguna parte que cuando X y $Y$ son normales (sus distribuciones marginales), entonces la media condicional de $Y$ se convierte en una función lineal de $X$ . ¿Cómo puedo ver esto?
Respuestas
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Si X e Y son normales, entonces la distribución de X condicionada a Y es: $$ X | (Y = y) = N(\mu_x + \rho \frac{\sigma_x}{\sigma_y}(y - \mu_y), (1-\rho)^2 \sigma^2_x )$$
Por lo tanto, $E[X|Y = y] = \mu_x + \rho \frac{\sigma_x}{\sigma_y}(y - \mu_y) = (\mu_x - \mu_y (\rho \frac{\sigma_x}{\sigma_y})) + (\rho \frac{\sigma_x}{\sigma_y})y $ que es lineal en $y$ . Simétricamente: $$E[Y|X = x] = (\mu_y - \mu_x (\rho \frac{\sigma_y}{\sigma_x})) + (\rho \frac{\sigma_y}{\sigma_x})x $$ que también es lineal en $x$
Bernard
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Un par de variables aleatorias $(Y,X)$ que tiene una distribución bivariada conjunta que pertenece a la Familia Simétrica Elíptica y a la Familia de Pearson (se solapan), tienen la propiedad de que las funciones de expectativa condicional asociadas (de $Y$ dado $X$ sino también de $X$ dado $Y$ ) son funciones lineales (más generalmente, afines).
Algunos ejemplos son la distribución Normal y la de Student $t$ -distribución. Otras distribuciones bivariadas que tienen funciones de expectativas condicionales afines son la Pareto, la Beta, la Gamma, la F-, la Binomial, la Poisson y la Binomial Negativa.
