Estrategia de cobertura para el pago $\int_0^T\log S_u\mathrm{d}u$

Question

¿Cómo sería una estrategia de cobertura para un pago $\int_0^T\log S_u\mathrm{d}u$ ? He determinado bajo la dinámica de acciones de Black-Scholes,

$$\int_0^T\log S_u\mathrm{d}u=\int_0^t\log S_u\mathrm{d}u+\int_t^T\left[\log S_t+\left(r-\frac{\sigma^2}2\right)(u-t)+\sigma(W_u-W_t)\right],$$

tan condicionado a $\mathcal{F}_t$ tenemos

$$\int_0^T\log S_u\mathrm{d}u\Big|\mathcal{F}_t\sim\mathcal{N}\left(\int_0^t\log S_u\mathrm{d}u+(T-t)\log S_t+\frac{T^2-t^2}2\left(r-\frac{\sigma^2}2\right),\frac{\sigma^2}3\frac{(T-t)^3}{T^2}\right),$$

y por lo tanto el tiempo- $t$ El precio de esta opción sería

$$V(S_t,t)=\mathrm{e}^{-r(T-t)}\left[\int_0^t\log S_u\mathrm{d}u+(T-t)\log S_t+\frac{T^2-t^2}2\left(r-\frac{\sigma^2}2\right)\right].$$

¿Cómo puedo utilizar esta información para desarrollar una estrategia de cobertura para dicho siniestro? Si puedo cubrir perfectamente el delta, en términos del subyacente, ¿es el delta realmente tan simple como

$$\frac{\partial}{\partial S_t}\mathrm{e}^{-r(T-t)}\left[\int_0^t\log S_u\mathrm{d}u+(T-t)\log S_t+\frac{T^2-t^2}2\left(r-\frac{\sigma^2}2\right)\right],$$

¿o hay algo más que se me escapa?

Answer 1

Supongo que quieres ponerle precio a un producto derivado que paga $\int_0^T\ln S_tdt$ en el momento del vencimiento $T$ , desde el momento en que $t=0$ . Voy a ignorar la generalización al tiempo $t$ porque es trivial (dividir la integral en dos, antes y después de $t$ como tú).

El primer truco es hacer una integración por parte en $\ln S_t dt$ :

$d(t\ln S_t) = \ln S_t dt + \frac{t}{S_t}dS_t + \frac{t}{2S_t^2} \sigma_t^2 S_t^2 dt$

Ahora vamos a integrar ambos lados entre $0$ y $T$ y reorganizar:

$\int_0^T \ln S_t dt = \int_0^T d(t\ln S_t) - \int_0^T \frac{t}{S_t}dS_t - \int_0^T \frac{t}{2} \sigma_t^2 dt = T \ln S_T - \int_0^T \frac{t}{S_t}dS_t - \int_0^T \frac{t}{2} \sigma_t^2 dt$

Así que su pago $\int_0^T \ln S_t dt$ es igual a tres términos:

• $T \ln S_T$ : $T$ -veces el contrato de registro, que es estáticamente replicable.
• $\int_0^T -\frac{t}{S_t}dS_t$ Una estrategia de cobertura delta dinámica (para ponerse en corto con una cantidad $\frac{t}{S_t}$ de existencias en cualquier momento $t$ ).
• $\int_0^T -\frac{t}{2} \sigma_t^2 dt$ un tercer término dinámico que es función de $S_t$ de la varianza total.

Ponemos precio al derivado que paga $\int_0^T \ln S_t dt$ en el momento $T$ Así que sabes de memoria que su precio es la expectativa descontada bajo la medida de riesgo neutral:

$Price_0 = e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}( \int_0^T \ln S_t dt ) = e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}( T \ln S_T ) - e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}( \int_0^T \frac{t}{S_t}dS_t ) - e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}( \int_0^T \frac{t}{2} \sigma_t^2 dt )$

Los dos primeros términos son sencillos.

• $e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}( T \ln S_T )$ es el precio de $T$ veces el contrato de registro.
• $e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}( \int_0^T -\frac{t}{S_t}dS_t )$ es el valor actual del coste de financiación esperado de la cobertura delta dinámica. Obsérvese que en este caso, la delta es negativa (se pone en corto la acción), por lo que la financiación es un beneficio: se pagan intereses por estar en corto la acción.

La parte complicada aquí es el tercer término: cómo vas a cubrir esta integral de $\sigma_t^2$ ?

1. En el marco básico de Black-Scholes, se tiene $\sigma_t = \sigma$ Así que

$\int_0^T \frac{-t}{2} \sigma_t^2 dt = -\frac{\sigma^2}{2} \int_0^T tdt = -\frac{T^2\sigma^2}{4}$

No hay nada que cubra dinámicamente; sólo abarata el derivado por $e^{-rT}\frac{T^2\sigma^2}{4}$ (es sólo una cantidad de dinero determinista que se elimina del resto de la estrategia de replicación).

2. Si $\sigma_t = \sigma (t,S_t)$ es decir $\sigma$ es una función de volatilidad local, se vuelve complicado. Tendrías que cubrir dinámicamente esa integral de varianza $\int_0^T -\frac{t}{2} \sigma_t^2 dt$ porque también tiene cierto riesgo de delta (depende de $S_t$ !). Las matemáticas se vuelven desagradables porque hay cierta recursividad (la cobertura de la integral de la varianza requerirá una estrategia de cobertura dinámica, que probablemente implique también una integral de la varianza, que tendría que ser cubierta con delta ). En la práctica, todo lo que significa es que tendrías que ajustar tu cobertura delta $\int_0^T \frac{-t}{S_t}dS_t$ para tener en cuenta que la volatilidad no es constante con el tiempo y el lugar. (modelo diferente, delta diferente)

3. Si la volatilidad es estocástica y tiene su propia fuente de riesgo, la simple cobertura delta no es suficiente. Se necesita algo más para cubrir ese riesgo de varianza (la integral de varianza). Tenga en cuenta que la integral ( $\int_0^T \frac{-t}{2} \sigma_t^2 dt$ ) es similar al pago de un canje de varianza ( $\int_0^T \sigma_t^2 dt$ ), pero no exactamente, ya que tiene cierta ponderación temporal. Por lo tanto, es probable que se pueda realizar una cobertura dinámica a través de las opciones.