Cuando diferenciamos la función de utilidad con respecto a algún insumo $x_i$ obtenemos un número que nos dice lo "rápido" que cambia la función de utilidad en algún momento con respecto a $x_i$ . ¿No significa eso que cuando comparamos utilidades marginales, estamos comparando con algo que se basa en la estructura de la salida numérica de la función de utilidad, lo que no debería ser el caso ya que es ordinal?
Sé que se me escapa algo intuitivamente, pero no consigo averiguar qué es.
Para el ordinalista puro que cree que las preferencias son puramente ordinales, el concepto de utilidad marginal (UM) no tiene ningún significado. (Y a fortiori, el concepto de MU decreciente tampoco tiene sentido).
Sin embargo, el concepto de tasa marginal de sustitución (TMS) hace tienen significado.
En el curso de nuestro trabajo, podemos calcular algo que llamamos MU. Pero para el ordinalista puro, cualquier número encontrado no tiene ningún significado en sí mismo.
Ejemplo. Digamos que las preferencias de un individuo $\succsim$ sobre dos mercancías $A$ y $B$ puede representarse mediante la función de utilidad $U:(\mathbb{R}^+_0)^2\rightarrow\mathbb{R}$ definido por $$U(A,B)=AB.$$
El estudiante de microeconomía de nivel intermedio puede entonces realizar estos cálculos:
$$MU_A=\frac{\partial U}{\partial A} = B.$$
$$MU_B=\frac{\partial U}{\partial B} = A.$$
$$MRS = \frac{MU_A}{MU_B}=\frac{B}{A}.$$
Lo anterior dice que si, por ejemplo, mi paquete actual es $(A,B)=(200,1000)$ entonces $$MU_A=B=1000\text{ and }MU_B=A=200.$$ Sin embargo, estos dos números no tienen ningún significado.
El único número que tiene significado es el MRS: Para obtener otra unidad de $A$ Estoy dispuesto a renunciar (aproximadamente) $$MRS=\frac{B}{A}=\frac{1000}{200}=5\text{ units of }B.$$
Para el ordinalista puro, el razonamiento anterior es completamente legítimo, siempre y cuando se asigne un significado sólo a la MRS. Lo que es ilegítimo es asignar cualquier significado a $MU_A=B$ o $MU_B=A$ .
El ordinalista puro sabe que si $\hat U$ es una transformación estrictamente creciente de $U$ entonces $\hat U$ es también una representación de utilidad de $\succsim$ . Así, por ejemplo, si $\hat U:(\mathbb{R}^+_0)^2\rightarrow\mathbb{R}$ se define por $$\hat U(A,B)=2AB,$$ entonces $\hat U$ también representa $\succsim$ .
Sin embargo, con $\hat U$ nuestros cálculos parecen diferir ligeramente de los anteriores:
$$M\hat U_A=\frac{\partial \hat U}{\partial A} = 2B.$$
$$M\hat U_B=\frac{\partial \hat U}{\partial B} = 2A.$$
$$\hat{MRS} = \frac{M\hat U_A}{M\hat U_B}=\frac{2B}{2A}=\frac{B}{A}.$$
Cualquier conclusión a la que lleguemos con la nueva representación de la utilidad $\hat U$ son los mismos que antes.
Si de nuevo mi paquete actual es $(A,B)=(200,1000)$ entonces $$M\hat U_A=2B=2000\text{ and }M\hat U_B=2A=400.$$ Sin embargo y de nuevo, estos dos números no tienen ningún significado.
El único número que tiene significado es el MRS: Para obtener otra unidad de $A$ Estoy dispuesto a renunciar (aproximadamente) $$\hat{MRS}=\frac{2B}{2A}=\frac{2000}{400}=5\text{ units of }B.$$
La cantidad MU por sí misma no tiene ningún significado. La confusión surge sólo cuando se le atribuye un significado a MU y se pregunta, por ejemplo, cómo es que $$M\hat U_A = 2MU_A,$$ y lo que significa la ecuación anterior. (Respuesta: No significa nada).
Por comodidad, el estudiante de microeconomía intermedia suele calcular algo llamado $MU_A$ y $MU_B$ y a menudo se pueden evaluar como números reales. Pero por sí solos, estos números no tienen ningún significado (para el ordinalista puro). Sólo el relación de las dos cantidades tiene algún significado: $$MRS=\frac{MU_A}{MU_B}.$$
Algunas citas. Hicks ( 1939 ):
Ahora tenemos que emprender una purga, rechazando todos los conceptos que están contaminados por la utilidad cuantitativa, y sustituyéndolos, en la medida en que sea necesario, por conceptos que no tengan esa implicación.
La primera víctima debe ser, evidentemente, la propia utilidad marginal. Si la utilidad total es arbitraria, también lo es la utilidad marginal. ...
La segunda víctima (esta vez más grave) debe ser el principio de la utilidad marginal decreciente. Si la utilidad marginal no tiene sentido exacto, la utilidad marginal decreciente tampoco puede tenerlo.
Dittmer ( 2005 (énfasis añadido):
Muchos autores de libros de texto de introducción a la microeconomía derivan la ley de la demanda del supuesto de la utilidad marginal decreciente. Los autores de libros de texto de nivel intermedio y de posgrado derivan la demanda de la tasa marginal de sustitución decreciente y de las preferencias ordinales. Estos enfoques no son intercambiables; la utilidad marginal decreciente para todos los bienes no es una condición necesaria ni suficiente para la tasa marginal de sustitución decreciente, y el supuesto de la utilidad marginal decreciente es inconsistente con el supuesto de las preferencias ordinales .
La afirmación que destaca en la última cita es la respuesta a la pregunta tal y como está planteada. Sin embargo, no explica por qué es así. "Inconsistente" es un término bastante fuerte para ser lanzado sin más. En cuanto al artículo del que procede, está detrás de un muro de pago. ¿Puede explicar por qué esta afirmación es cierta, o apuntar a una demostración en fuentes más tradicionales como Mas-Collel o Kreps?
Tienes razón. La utilidad marginal decreciente o creciente es una propiedad de la función de utilidad y no de la relación de preferencia subyacente. Por ejemplo:
$u_1(x, y) = x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$ y $u_2(x, y) = x^2y^2$ .
$u_2$ es una transformación monótona de $u_1$ por lo que representan la misma relación de preferencia.
Utilizando $u_1$ la utilidad marginal de x es $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}$ que es decreciente en x.
Utilizando $u_2$ la utilidad marginal de x es $2xy^2$ que es creciente en x.
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