Tengo una pregunta sobre una derivación del modelo simple de emparejamiento del mercado de trabajo de Abraham (1987) (ecuaciones 3 a 7):
Comienza anotando tautologías:
J - V = L - U = E
donde J es el número de puestos de trabajo, V es el número de vacantes, L es la población activa total, U es el total de parados y E es el total de ocupados. Consideremos una función de probabilidad de que se cubra una determinada vacante:
p(V/U) donde $p_u > 0, p_v <0, p_{uu} < 0, p_{vv} > 0$ .
Ahora, dejando que el total de renuncias y despidos del stock actual de empleados sea sE debemos tener: \begin{equation} p(V/U)V - sE =0 \end{equation} Dejando que U/E = u, V/E = v, y dividiendo por E obtenemos:
\begin{equation} p(v/u)v = s \end{equation}
Ahora las cosas se complican. Ella escribe "a lo largo del conjunto de puntos que satisfacen (lo anterior)" tenemos:
\begin{equation} \frac{dv}{du} = - \frac{p_u}{p+p_v v} \end{equation}
Mi pregunta es: ¿cómo? Supongamos que trato esto como un problema de diferenciación implícita. Escriba $F(v,u) = p(v/u)v-s = 0$ entonces sabemos que sabemos:
\begin{equation} \frac{d v}{d u} = - \frac{\partial F}{du} / \frac{\partial F}{dv} \end{equation}
Obtengo $F_v = p + (v/u)p_v $ y $F_u = - (\frac{v}{u})^2 p_{u}$ lo que da como resultado:
\begin{equation} \frac{dv}{du} = \frac{(\frac{v}{u})^2 p_{u}}{p + (v/u)p_v} \end{equation}
Esto no se parece mucho. ¿Me estoy perdiendo algo? ¿Qué está pasando aquí?
EDITAR:
Inspirado en la respuesta de abajo, estoy de acuerdo en que es tan sencillo como diferenciar totalmente P(u,v) = p(v/u).
\begin{equation} p(v/u) = P(v,u) \rightarrow P(v,u)v - s = 0 \end{equation}
Ahora, diferenciemos totalmente esta expresión con respecto a v,u y s.
\begin{equation} \left[P_v(v,u)v + P\right] dv + v P_u du - ds = 0 \end{equation}
Considere $ds = 0 $ por ejemplo, no hay cambios en la tasa de separación. Esto da como resultado:
\begin{equation} \frac{dv}{du} = - \frac{vP_u}{vP_v + P} \end{equation}
Sustituyendo $p(v/u)$ para $P(v,u)$ da la expresión desviada por un factor v.
