En el libro "Financial Modelling with jump processes" de Cont y Tankov hay un capítulo que explica los principios de la fijación de precios de la martingala. No es extremadamente formal, pero da la idea que subyace al método. Allí muestra que cualquier regla de fijación de precios lineal positiva puede asociarse a una medida de probabilidad (u operador de expectativas definido en un subespacio lineal de variables aleatorias que representan los créditos contingentes). Eso está perfectamente claro, y el argumento es bastante sencillo.
El siguiente paso es demostrar que, bajo algún argumento de no arbitraje, los precios descontados de los valores negociados deben ser martingales con respecto a esta última medida. El argumento es el siguiente:
Considere ahora un activo $S^i$ negociado al precio $S^i_t$ . Este activo puede mantenerse hasta $T$ generando un resultado final $S^i_T$ o ser vendido por $S^i_i$ la suma resultante invertida al tipo de interés $r$ generará entonces una riqueza terminal de $\mathrm e^{r(T-t)}S^i_t$ . Estas dos estrategias de comprar y mantener se autofinancian y tienen el mismo resultado final por lo que deberían tener el mismo valor en $t$ .
El negrita La parte de la cita no me queda clara: ¿cómo sabemos que los pagos finales son los mismos? Incluso creo que en el caso más sencillo del modelo BS no lo serán: si $S^i_t$ es un GBM con deriva $\mu$ y la volatilidad $\sigma$ entonces $S^i_T \neq \mathrm e^{r(T-t)}S^i_t$ bajo la medida física, y como estamos buscando las medidas equivalentes, ninguno de los dos pagos será igual (a.s.) bajo tales medidas.
¿Puede alguien aclarar si esto es realmente un error en el argumento, o me estoy perdiendo algo aquí?
