Problemas con una aplicación de utilidades internas y marginales definidas

Question

Voy a exponer el problema sin mucho contexto porque es una cuestión de las matemáticas que estoy haciendo, más que de algún concepto específico de economía.

Estado. Estoy tratando de probar esto.
$$V(q_l) - \theta_l*q_l > V(q_h) - \theta_h*q_h$$

Dado $$q_l>q_h$$ $$\theta_l < \theta_h$$ $$V'() > 0$$ $$V'' < 0$$ $$V'(q_l) = \theta_l$$ $$V'(q_h) = \theta_h$$

Estoy tratando de usar integrales definidas para demostrar esto. Pero creo que estoy recibiendo algo fundamentalmente mal aquí.

$$\int_0^{q_i} V'(q)dq = \int_0^{q_i} \theta_i$$ $$V(q_i) - V(0) = \theta_i*q_i$$

Esto da dos ecuaciones, una para cada $q_l, q_h$ . Restando estas dos ecuaciones entre sí.

$$V(q_l) - V(q_h) = \theta_l*q_l -\theta_h*q_h$$

Definitivamente estoy haciendo algo mal aquí. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

El error que está cometiendo parece ser tratar $\theta_i$ como variable mientras que en realidad se trata de un valor de la derivada.

Así que $$\int_0^{q_i} V'(q)dq = \int_0^{q_i} \theta_i dq \;\;\; i=l,h$$

es errónea, ya que $V'(q)$ es igual a $\theta_l$ evaluado en $q_l$ solamente (y es igual a $\theta_h$ evaluado en $q_h$ sólo).