Integración de una función determinista con un movimiento browniano

Question

Ayúdame a resolver este problema:

Dejemos que $W_t$ sea un movimiento browniano y suponga $X_t = \int_{0}^{t}\delta _{s}dW_{s}$ donde $\delta _{s}$ es una función determinista. Entonces demuestre que $X_t$ es un proceso gaussiano con media, $m(t) = 0$ y la función de covarianza $\rho (s,t)=\int_{0}^{min(s,t)}\delta _{s}^{2} ds$ .

Editar: Estoy buscando un enfoque específico que utilice el lema de Ito y las funciones generadoras de momentos.

Answer 1

Estas son las propiedades clave de la integral de Ito. Sea $(X_t)$ sea un proceso caduco y adaptado con $\int_0^t \mathbb{E}[X_s^2]\mathrm{d}s<\infty$ . Entonces, la integral de Ito $$I_t=\int_0^t X_s\mathrm{d}B_s$$ está bien definido, es una martingala y satisface la isometría de Ito.

1. La propiedad de la martingala te dice que $I_t$ tiene una media constante y como $I_0=0$ obtenemos $\mathbb{E}[I_t]=0$ para todos $t$ . Esto es así si $X_s$ es un proceso estocástico (no necesariamente una función determinista).
2. La pregunta (ii) se deduce de la propiedad de la media cero: \begin{align*} \mathbb{C}\mathrm{ov}(I_t,I_s)&=\mathbb{E}[I_tI_s] \\ &= \mathbb{E}\left[\int_0^t X_u\mathrm{d}B_u \int_0^s X_\tau\mathrm{d}B_\tau\right] \\ &= \mathbb{E}\left[\int_0^t \int_0^s X_uX_\tau \mathrm{d}B_u \mathrm{d}B_\tau \right] \\ &= \mathbb{E}\left[\int_0^{t\wedge s} X_u^2 \mathrm{d}u \right]. \end{align*} Esto también es válido si $X_s$ es un proceso estocástico.
3. Para este punto, necesitamos que $X_s$ es una función determinista. Recordemos que la integral de Ito $I_t$ se define como un límite (en el sentido del cuadrado medio): Se toman procesos simples $X_s^n$ para aproximar el integrando $X_s$ y definir la integral de los procesos simples con respecto al movimiento browniano, es decir \begin{align*} I_t^n=\int_0^t X_s^n\mathrm{d}B_s := \sum_{i=1}^n C_{i-1}(B_{s_i}-B_{s_{i-1}})+C_n(B_t-B_{s_n}). \end{align*} Si $X_s$ es determinista, entonces el $C_i$ son constantes y $I_t^n$ es una suma de variables aleatorias normalmente distribuidas (los incrementos de los movimientos brownianos). Así, la integral de Ito $I_t$ no es más que el límite de las sumas con distribución normal y, por tanto, gaussiana en sí misma. Si $X_s$ es cualquier proceso estocástico, entonces el $C_i$ son variables aleatorias y $I_t^n$ no está necesariamente distribuido de forma normal.