Ley de un Proceso CIR integrado como suma de Variables Aleatorias Independientes

Question

Se sabe (ver por ejemplo Joshi-Chan "Fast and Accureate Long Stepping Simulation of the Heston SV Model" disponible en SSRN) que para un proceso CIR definido como :

$$dY_t= \kappa(\theta -Y_t)dt+ \omega \sqrt{Y_t}dW_t$$ $Y_0=Y$ junto con un conjunto correcto de restricciones sobre el valor de los parámetros.

Entonces la ley de $\int_0^T Y_t dt$ condicionado a $Y_0,Y_T$ puede verse como la suma de tres variables aleatorias independientes (bastante complicadas) (véase la proposición 4 y la ecuación 2.10 del artículo de Joshi Chan)

NB : El resultado original proviene de Glassermann y Kim "Gamma Expansion of the Heston Stochastic Volatility Model" disponible en SSRN, pero estoy más acostumbrado a la expresión de Joshi Chan.

Esta es mi pregunta:

¿Tiene por casualidad el propio proceso integrado CIR una representación de este tipo en forma de suma de variables aleatorias independientes?

PS: La transformada de Laplace tiene una expresión de forma cerrada conocida, pero no he podido deducir directamente de esto tal representación.

Edit : Como Tal ha abierto una recompensa sobre esto aquí está la transformada de Laplace del proceso CIR integrado :

$$\mathcal{L}\left\{\int_0^t Y_s ds\right\}(\lambda)=\mathbb{E}\left[e^{-\lambda\int_0^t Y_s ds}\right]=e^{-A_\lambda(t)-Y_0.G_\lambda(t)}$$ con $A_\lambda(t)=-\frac{2\kappa.\theta }{\omega^2}. \mathrm{Ln}\left[\frac{2\gamma.e^{(\gamma+\kappa).t/2}}{\gamma.(e^{t.\gamma}+1)+\kappa.(e^{t.\gamma}-1)}\right]$ y $G_\lambda(t)=\frac{2.\lambda.(e^{t.\gamma}-1)}{\gamma.(e^{t.\gamma}+1)+\kappa.(e^{t.\gamma}-1)} $ donde $\gamma=\sqrt{\kappa^2+\omega^2.\lambda}$

Esto viene de Chesnay, Jeanblanc-Picqué, Yor "Mathematical Methods for Financial Markets" Proposición 6.3.4.1

Saludos cordiales

Answer 1

¿Tiene por casualidad el propio proceso integrado CIR una representación de este tipo en forma de suma de variables aleatorias independientes?

Creo que la respuesta a esto es claramente "no". El proceso CIR es (como señala @DavidAddison en los comentarios anteriores) como un proceso Ornstein-Uhlenbeck. La propiedad de reversión de la media del O-U (y del CIR) significa que el proceso está correlacionado en serie. Por lo tanto, sería difícil encontrar una suma de variables aleatorias independientes para representar $\int_0^T Y_t dt$ .

Para profundizar en esto: conocemos la distribución de $Y_T$ si se nos da sólo $Y_0$ . También podemos encontrar la distribución de $Y_{T/2}$ . Sin embargo, $Y_{T/2}$ y $Y_T$ no son independientes, están correlacionados.

Quizás podríamos interpolar con más frecuencia, ya que será necesario para aproximar el intervalo (numéricamente o tomando un límite). Sin embargo, si interpolamos con más frecuencia, nos encontramos con el mismo problema: las muestras están correlacionadas en serie entre sí. Por tanto, las cajas que creamos para aproximar nuestra integral no pueden ser independientes unas de otras.

¿Cómo, entonces, Chan y Joshi (y Glasserman y Kim antes de ellos) descomponen $\int_0^T Y_t dt$ ? Condicionando en $Y_0$ y $Y_T$ tienen un puente Ornstein-Uhlenbeck cuadrado. Al igual que con un puente browniano, eso les da más información sobre la distribución de valores en $(0,T)$ . En este caso, esa información es suficiente para escribir el proceso integrado de la CIR como una suma de tres variables independientes (que a su vez son sumas de variables independientes con distribuciones diferentes).

Para más información sobre esto, el Teorema 2.1 de Glasserman y Kim es informativo (y tiene referencias a la descomposición que fue probada originalmente por Pitman y Yor).