Juego bayesiano de "intercambio de lugares" de Tadelis

Question

Mi pregunta se refiere al siguiente problema: dos jugadores, $1$ y $2$ Cada uno es dueño de una casa. Cada jugador $i$ valora su propia casa en $v_{i}$ . El valor del jugador $i$ al otro jugador, es decir, al jugador $j\neq i$ es $\frac{3}{2}v_{i}$ . Cada jugador $i$ conoce el valor $v_{i}$ de su propia casa para sí mismo, pero no el valor de la casa del otro jugador. Los valores $v_{i}$ se extraen independientemente del intervalo $[0,1]$ con una distribución uniforme.

Los pagos y las acciones se definen como sigue: cada jugador anuncia simultáneamente si quiere intercambiar sus casas. Si ambos jugadores están de acuerdo con el intercambio, éste tiene lugar. En caso contrario, no se produce ningún intercambio.

En cuanto a la búsqueda de un equilibrio bayesiano, he llegado a la siguiente etapa:

Dado $j$ intercambios, $i$ intercambios siempre que $v_{i}\leq\frac{3}{2}v_{j}$ y dado $i$ intercambios, $j$ intercambios siempre que $v_{j}\leq\frac{3}{2}v_{i}$ . Esto significa que $j$ La utilidad esperada del intercambio (dado $i$ intercambios) es $\frac{9}{8}v_{j}$ y $i$ es $\frac{9}{8}v_{i}$ . A partir de esto no sé cómo proceder.

Answer 1

Se trata de un juego bayesiano estático. Los dos jugadores comparten una previa común sobre el espacio de tipos que se caracteriza por la distribución uniforme. En los juegos bayesianos, hay que especificar la creencia de cada jugador dado su tipo, y la creencia de cada jugador determina su acción. Básicamente, la estrategia es un mapeo del tipo propio a una acción a través de la especificación de la creencia.

Qué es el jugador $i$ sobre la creencia de $v_j$ ? Se extrae de forma independiente de la distribución uniforme sobre $[0,1]$ Así que $E(v_j) = 0.5$ por ahora. Y sólo cambiará cuando $v_i \leqslant \frac{3}{2}v_j$ pero no sabe exactamente el valor de $v_j$ , por lo que toma una expectativa sobre $v_j$ entonces, siempre y cuando $v_i \leqslant \frac{3}{2} \times 0.5 = \frac{3}{4}$ elegirá el intercambio.

Lo mismo ocurre con el jugador $j$ porque son simétricos, por lo que el jugador $j$ sólo se intercambiará cuando $v_j \leqslant \frac{3}{4}$ .

Teniendo en cuenta esto, $E(v_j)$ ahora disminuye a $\frac{3}{8}$ , jugador $i$ La recompensa esperada por el intercambio disminuye a $\frac{3}{2}\times \frac{3}{8} = (\frac{3}{4})^2$ . Por lo tanto, el jugador $i$ sólo elegirá el intercambio cuando $v_i \leqslant (\frac{3}{4})^2$ .

Desde $\frac{3}{4} < 1$ Este proceso continuará de tal manera que al final nadie elegirá el intercambio, que es el único equilibrio.