Optimizar por MR = MC vs TR = TC

Question

Sé que debo optimizar la producción resolviendo $MR = MC$ con respecto a $Q$ .

Pero si $TR > TC$ Estoy obteniendo un beneficio. ¿Por qué no es suficiente con resolver $TR = TC$ con respecto a $Q$ ?

Answer 1

Dejemos que $TR(Q), TC(Q): [0, \infty) \to [0, \infty)$ sean funciones continuas y dos veces diferenciables con sus respectivas derivadas $MR(Q), MC(Q)$ .

No siempre se da el caso de que

$$TR(Q) > TC(Q) \ \forall Q$$

Si lo fuera, tendríamos

$$\{Q | TR(Q) = TC(Q)\} = \emptyset$$

Incluso si tuviéramos

$$TR(Q) > (or \ge) \ TC(Q) \ \forall Q$$

lo que significa que nuestro beneficio es positivo para cualquier cantidad Q:

$$\pi(Q) := TR(Q) - TC(Q) > 0$$

todavía queremos encontrar $Q^{*}$ s.t. $\pi(Q^{*}) = TR(Q^{*}) - TC(Q^{*})$ se maximiza.

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Analogía: $e^x > x \ \forall x \in \mathbb R$ pero $f(x) := |e^x - x|$ no es constante. Algunos valores de $x$ dan mayores distancias entre $e^x$ y $x$ que otros

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Esto no se hace resolviendo

$$TR(Q) = TC(Q)$$

que se limita a dar las cantidades que nos dan beneficio cero, es decir

$$\pi(Q) := TR(Q) - TC(Q) = 0$$

Queremos maximizar $\pi(Q)$ así que obtenemos la primera derivada y la ponemos a cero:

$$0 = \frac{d}{dQ} \pi(Q) = MR(Q) - MC(Q)$$

Por cierto, resolver

$$0 = MR(Q) - MC(Q)$$

nos da algún valor $Q_0$ pero esto no es necesariamente dar $Q^{*}$ . Debemos comprobar el valor de $\pi''(Q_0)$

Answer 2

MR y MC son las primeras derivadas de las funciones de ingresos y costes, respectivamente. Si para cada punto mayor que 0, tenemos Ingresos mayores que Costos, entonces no existe un máximo global. Sin embargo, este no suele ser el caso. Y si tenemos varios puntos en los que se cumple la condición de tangencia, tenemos que comprobar cada uno de ellos para encontrar el mejor.