¿Cómo linearizar la siguiente ecuación de diferencia?

Question

Estoy haciendo modelado económico donde $x_t$ es la variable de flujo de efectivo intertemporal. Necesito resolver la siguiente relación de recurrencia

$$x_{t+1}=\frac{x_{t+8}}{x_{t+1}}$$

Mi problema es que no sé exactamente cómo linearizar esta función. Tal vez debería introducir una nueva variable $y_{t} = x_{t+1}$ y obtener

$$y_{t}^2={x_{t+8}}$$

¿Podrías ayudarme con la técnica de linearización correcta, por favor? Estoy esperando tu respuesta.

Answer 1

Tenemos la relación de recurrencia

$$x_{k+1} = \frac{x_{k+8}}{x_{k+1}}$$

Si el denominador es distinto de cero, esta relación de recurrencia se puede reescribir de la siguiente manera

$$x_{k+7} = x_k^2$$

Suponiendo positividad y tomando el logaritmo de ambos lados, obtenemos una relación de recurrencia lineal

$$\ln (x_{k+7}) = 2 \ln (x_k)$$

Desplazando,

$$\ln (x_{k+1}) = 2 \ln (x_{k-6})$$

Sea

$$\eta_k := \left( \ln (x_k), \ln (x_{k-1}), \dots, \ln (x_{k-6}) \right)$$

un vector de estado de $7$ dimensiones. En forma matricial,

$$\eta_{k+1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \eta_k$$

Por lo tanto, necesitamos $7$ condiciones iniciales. Recuperamos $x_k$ a través de $x_k = \exp( \mathrm e_1^{\top}\eta_k )$.