Estoy haciendo modelado económico donde $x_t$ es la variable de flujo de efectivo intertemporal. Necesito resolver la siguiente relación de recurrencia
$$x_{t+1}=\frac{x_{t+8}}{x_{t+1}}$$
Mi problema es que no sé exactamente cómo linearizar esta función. Tal vez debería introducir una nueva variable $y_{t} = x_{t+1}$ y obtener
$$y_{t}^2={x_{t+8}}$$
¿Podrías ayudarme con la técnica de linearización correcta, por favor? Estoy esperando tu respuesta.
Tenemos la relación de recurrencia
$$x_{k+1} = \frac{x_{k+8}}{x_{k+1}}$$
Si el denominador es distinto de cero, esta relación de recurrencia se puede reescribir de la siguiente manera
$$x_{k+7} = x_k^2$$
Suponiendo positividad y tomando el logaritmo de ambos lados, obtenemos una relación de recurrencia lineal
$$\ln (x_{k+7}) = 2 \ln (x_k)$$
Desplazando,
$$\ln (x_{k+1}) = 2 \ln (x_{k-6})$$
Sea
$$\eta_k := \left( \ln (x_k), \ln (x_{k-1}), \dots, \ln (x_{k-6}) \right)$$
un vector de estado de $7$ dimensiones. En forma matricial,
$$\eta_{k+1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \eta_k$$
Por lo tanto, necesitamos $7$ condiciones iniciales. Recuperamos $x_k$ a través de $x_k = \exp( \mathrm e_1^{\top}\eta_k )$.
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Lineal en ¿qué exactamente? Tienes $x_{t+1}^2=x_{t+8}$. Toma el logaritmo en ambos lados: $2\ln(x_{t+1})=\ln(x_{t+8}) ¿Es esto lo suficientemente lineal? ¿O quieres que la función sea lineal en $x_t$?
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Puedes tomar el logaritmo de ambos lados.
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Gracias, ya he pensado en la loglinealización. ¿Pero qué hacer después de eso? Estoy buscando la solución en forma de $x_{t}$=...
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¿Tiene alguna(s) condición de frontera como parte de la definición de la ecuación de diferencia, por ejemplo, $x_0$ o $x_T$ dada? A partir de la forma log-linealizada, tendrá $x_t=\sqrt{x_{t+7}}. Entonces, si conoce $x_0$, entonces conocerá $x_7$.
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Tengo una condición básica como $x_{0} > 0$. Tal vez esto sirva para hacer disponible la logaritmización. Gracias @Herr K.
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¿Sabes cómo podría linealizar esta función usando series de Taylor?
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No estoy seguro de que la expansión de Taylor sea la mejor opción... Tal vez incluir más detalles de tu pregunta ayudaría a aclarar las cosas un poco.
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No hay más adición :/ Estoy buscando la solución para esta simple ecuación diferencial. No estoy 100% (quizás 80%) seguro de si tu comentario es correcto o no.