Relaciones de preferencia estrictas y representaciones de utilidad

Question

Supongamos que tengo una relación de preferencia racional $\succsim$ en algún conjunto de consumo $X$ .

Supongamos también que existe una función de utilidad $u:X \to \mathbb{R}$ representando a $\succsim$ .

Definición: Una función $u: X \to \mathbb{R}$ es una función de utilidad que representa la relación de preferencia $\succsim$ si, para todo $x, y \in X$ , $$x \succsim y \iff u(x) \geq u(y)$$

¿Es posible demostrar que $x \succ y \iff u(x) > u(y)$ sin una condición de continuidad en $\succsim$ ?

Mi intuición me dice que no, pero me cuesta encontrar un contraejemplo adecuado. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Sí, lo es:
Si la dirección $$ x \succ y \Rightarrow x \not \precsim y \Rightarrow u(x) > u(y). $$ Sólo si la dirección:
Para todos $x, y \in X$ , $$ x \succsim y \iff u(x) \geq u(y) $$ implica $$ x \sim y \iff u(x) = u(y). $$ También $$ u(x) > u(y) \Rightarrow u(x) \geq u(y) \Rightarrow x \succsim y , $$ $$ u(x) > u(y) \Rightarrow u(x) \not = u(y) \Rightarrow x \not\sim y. $$ y $$ x \succsim y \mbox{ AND } x \not\sim y \Rightarrow x \succ y. $$