Fórmula del tipo LIBOR a plazo instantáneo según la medida del mundo real: Una cuestión fundamental

Question

Sabemos cómo es la fórmula de un tipo LIBOR a plazo instantáneo:

\begin{eqnarray} L(t, t, T) = \frac{1}{\Delta}\left(\frac{1}{P(t, T)} -1\right) \end{eqnarray} donde $P(t, T)$ representa el precio del bono cupón cero en el momento $t$ con $T$ siendo el tiempo de vencimiento (el momento en el que se termina nuestro contrato). Matemáticamente, la relación correspondiente viene dada por:

\begin{eqnarray} P(t, T) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[D(t, T) | \mathcal{F}_t] \end{eqnarray} donde la expectativa se toma con respecto a una medida de riesgo-netral equivalente a la medida del mundo real $\mathbb{P}$ y $D(t, T)$ es el factor de descuento entre $t$ y $T$ (Digamos que se caracteriza por un modelo CIR).

Mi pregunta aquí es: ¿qué pasa si queremos escribir una formulación para el tipo LIBOR a plazo instantáneo bajo la medida del mundo real $\mathbb{P}$ . Más concretamente, supongamos que especificamos por $P^{A}(t, T)=\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[D(t, T)| \mathcal{F}_t]$ el valor actuarial de un bono de cupón cero en el momento t con vencimiento en el momento T, y $\Delta = T-t$ . Entonces, ¿es todavía posible escribir

\begin{eqnarray} L(t, t, T) = \frac{1}{\Delta}\left(\frac{1}{P^{A}(t, T)} -1\right) \end{eqnarray}

Por favor, dígame lo que piensa. Gracias de antemano.

Answer 1

Les mostraré dos tratamientos diferentes, el primero desde la teoría clásica de la utilidad y el otro desde la economía financiera.

1. Consideremos un mercado con aversión al riesgo que opera con una función de utilidad cóncava, monótona y creciente. Bajo algunas condiciones de regularidad (Von-Neumann), esto es sin pérdida de generalidad. Dicha función de utilidad es única hasta una transformación lineal. Entonces,

$E_Q(X)=P(t,T)$ y

$U(P(t,T))=E_P(U(X))$ implican que

$U(E_Q(X))=E_P(U(X))$

Dejemos que $Y=U(X)$ para que $E_P(Y)=U(E_Q(U^{-1}(Y))$

También $P_A(t,T)=E_P(Y)$

por lo que tenemos que relacionar $U(E_Q(U^{-1}(Y))$ y $E_Q(Y)$ . Obsérvese que la U es cóncava,

$U(E_Q(U^{-1}(Y))>E_Q(U(U^{-1}(Y))=E_Q(Y)$

y por lo tanto la única relación de la que podemos estar seguros es:

$E_P(Y)>E_Q(Y)$ donde la diferencia es la conocida "brecha de Jensen", que depende en gran medida de la función de utilidad del mercado. Ahora se puede introducir $Y$ como el factor de descuento estocástico.

2. Las expectativas de las medidas equivalentes $Q$ y $P$ están relacionados por:

$E_Q(X)=E_P(X)+cov(X,dQ/dP)$

donde $dQ/dP$ es la derivada de Radon Nikodym. Se puede conectar $X$ como el factor de descuento estocástico y así poder expresar el LIBOR a plazo en términos del $P$ medir la expectativa.