Demostrar que una relación de preferencia admite una representación de la función de utilidad

Question

Entorno: Tenemos dos opciones de bienes $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ del conjunto de opciones $[-1,1]^2$ . Además, tenemos la siguiente relación de preferencia $$(x_1,y_1)\mathcal{R}(x_2,y_2)\iff |x_1|\geq|x_2|\>\>\text{or}\>\> |y_1|\geq|y_2|$$

Pregunta: Tenemos que comprobar si existe una función de utilidad que represente esta relación de preferencia.

Mi intento: Por lo que he aprendido, sabemos que una relación de preferencia admite una representación de la función de utilidad si es racional (reflexiva, completa, transitiva) y continua. He comprobado que esta relación de preferencia no es transitiva, pero esto no significa que no exista una representación de la función de utilidad, porque la afirmación anterior no es una si y sólo si declaración.

Además, pensé que podríamos intentar derivar una contradicción del hecho de que si existe una función de utilidad $u$ representación de la relación de preferencia, entonces tenemos $$(x_1,y_1)\mathcal{R}(x_2,y_2)\iff u(x_1,y_1)\geq u(x_2,y_2)$$ Intenté utilizar el hecho de que la relación no es transitiva para derivar una contradicción utilizando el enunciado anterior, pero no tuve éxito.

Lamentablemente, estos son los dos principales teoremas/proposiciones que he aprendido para resolver estos problemas.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Basta con utilizar la violación de la transitividad y proceder por contradicción.

Suponga que tiene ese $(x_1,y_1)R(x_2,y_2)$ y $(x_2,y_2)R(x_3,y_3)$ y una función de utilidad, $u:[-1,1]^2\rightarrow \mathbb{R}$ existe, entonces $u(x_1,y_1)\geq u(x_2,y_2)$ (son dos reales) y $u(x_2,y_2)\geq u(x_3,y_3)$ . (otros dos reales). Como los reales son transitivos, concluimos $u(x_1,y_1)\geq u(x_3,y_3)$ lo que a su vez implica que $(x_1,y_1)R(x_3,y_3)$ . Sin embargo, esto es una contradicción (si eliges cuidadosamente tus tres bultos).

Answer 2

La transitividad y la completitud son en realidad necesario para la existencia de una representación de utilidad. Siempre que se demuestre que las preferencias no son completas o transitivas se puede concluir que sí lo son no admiten una función de utilidad. Para conjuntos de elección finitos $X$ la transitividad y la completitud son necesarias y suficientes, véase el teorema 5 aquí .

Al contrario de lo que sugieres, la continuidad no es necesaria en sí misma, pero es casi necesaria. Lo que se necesita es una condición llamada separabilidad. Digamos que $\succcurlyeq$ es separable si existe un contable set $Z \subseteq X$ tal que para cada $x,y\in X$ existe algún $z\in Z$ tal que $x\succcurlyeq z \succcurlyeq y$ .

Teorema Una relación de preferencia $\succcurlyeq$ en $X$ admite una representación de utilidad si y sólo si es completa, transitiva y separable.

En realidad, se trata de un resultado muy antiguo de Cantor que precede al conocido resultado de Debreu, que supone la continuidad. El resultado de Cantor fue llevado a la Economía por Kreps. Puede encontrar una demostración aquí, el Teorema 9 .