Probabilidad de que el precio de la acción que sigue un movimiento browniano pase por debajo de un determinado valor

Question

El precio de la acción XYZ sigue un patrón de movimiento browniano con precio inicial = 10, = 0 y = 20 (en base anual). ¿Cuál es la probabilidad de que en 6 meses el precio sea menor o igual a 8? También debo resolver esto con papel y bolígrafo (puedo consultar la tabla de la distribución normal)

Answer 1

Dejemos que $(S_t)$ sea el proceso de precios de su acción tal que $S_t = S_0+ \mu t + \sigma B_t$ donde $(B_t)$ es un movimiento browniano estándar. Entonces, como $B_t\sim N(0,t)$ obtenemos $S_t\sim N(S_0+\mu t, \sigma^2 t)$ . En seis meses, $t=\frac{1}{2}$ tenemos $S_{0.5}\sim N(10,200)$ es decir $S_{0.5}=10+\sqrt{200}Z=10+10\sqrt{2}Z$ donde $Z\sim N(0,1)$ . Así, $$\begin{align*} \mathbb{P}[\{S_{0.5}\leq8\}] &= \mathbb{P}[\{10+10\sqrt{2}Z\leq8\}] \\ &= \mathbb{P}\left[\left\{Z\leq-\frac{1}{5\sqrt{2}}\right\}\right] \\ &= \Phi\left(-\frac{1}{5\sqrt{2}}\right) \\ &= 1-\Phi\left(\frac{1}{5\sqrt{2}}\right) \\ &\approx 1-\Phi\left(0.141\right) \\ &\approx 0.444. \end{align*}$$

Obtienes el último número de tu tabla normal. Observe que, según su modelo, el precio de las acciones puede ser negativo con una probabilidad positiva. Además, un modelo con una distribución normal del precio de las acciones fue propuesto originalmente por Bachelier.

Answer 2

Creo que hay una errata en la respuesta anterior -suponiendo que se trata de una browniana aritmética- aquí está mi trabajo:

$P\left[S_t \le 8\right]=P\left[S_0+\mu t+\sigma B_t \le 8\right]$

$=P\left[S_0+\mu t+\sigma \sqrt{t}Z \le 8\right]$

$=P\left[Z\le \frac{8-S_0-\mu t}{\sigma \sqrt{t}}\right]$

$=P\left[Z \le \frac{8-10}{20 \sqrt{0.5}}\right]$

$=P\left[Z \le \frac{-1}{10 \sqrt{0.5}}\right]$

$=P\left[Z\le -0.14\right]$