Pago previsto en una segunda subasta de precios con afiliación

Question

La estrategia de puja simétrica en una subasta de segundo precio con afiliación viene dada por $\beta(x)=v(x,x)$ , donde $v(x,y)=E[V_1|X_1=x,Y_1=y]$ (aquí $Y_1$ es la estadística más ordenada entre las restantes $n-1$ y se supone que el postor 1 es el ganador).

Teniendo en cuenta esto, el pago esperado por el licitador viene dado por $E[v(Y_1,Y_1)|X_1=x,Y_1<x]$ . Esto, supongo, debería ser igual a $\int_0^x v(y,y)g_{Y|X}(y|x) dy$ . La misma expresión se da en Introducción a la teoría de las subastas por Menezes y Monteiro. Sin embargo, Vijay Krishna en su libro escribe $E[v(Y_1,Y_1)|X_1=x,Y_1<x]=\int_0^x v(y,y)dK(y|x)$ , donde $K(y|x)=\cfrac{ G_{Y|X}(y|x)}{G_{Y|X}(x|x)}$ .

Mi pregunta es si las dos expresiones son iguales.

Nota: Hay una diferencia notacional en los dos libros, mientras que Vijay Krishna utiliza $g(.),G(.)$ para la densidad y la distribución, Menezes y Monteiro utilizan $f(.),F(.)$ respectivamente.

Answer 1

No veo nada malo en la expresión de Krishna. Si tuviera que hacer una conjetura, sería que Menezes y Monteiro definen su $f_{Y|X}(y|x)$ diferente o simplemente se olvidaron de ajustar la densidad en $Y_1 < x$ . Se supone que ambas expresiones son iguales.

Si tienes alguna variable aleatoria $Y$ con cdf $F$ densidad $f$ y apoyo $[a,b]$ las dos notaciones siguientes dicen lo mismo $$\int v(y) f(y) dy = \int v(y) d F(y) \quad \mbox{for any function } v(y).$$ Si condiciona $Y$ en ser $Y<x$ hay que ajustar la cdf porque el nuevo soporte sólo llega hasta $x$ , $$ F_{Y|Y<x} (y) = \begin{cases} 0 \quad &\mbox{if } y <a, \\ \frac{F(y)}{F(x)} \quad &\mbox{if } y \in [a,x],\\ 1 \quad &\mbox{if } y >x. \end{cases}$$ De esta manera se tiene una expresión que es una para $y=x$ .

Por lo tanto, $$E[v(Y_1,Y_1)|X_1=x,Y_1<x]= \int_0^x v(y,y)d\cfrac{ G_{Y|X}(y|x)}{G_{Y|X}(x|x)} = \int_0^x v(y,y) \cfrac{ g_{Y|X}(y|x)}{G_{Y|X}(x|x)} d y. $$