Tasa Libor y martingalas

Question

Sabemos que la tasa forward Libor $L(t, T, T + \tau)$, en ausencia de arbitraje, es un martingala bajo la medida $T + \tau$, es decir $Q^{T+\tau}$. En este contexto:

$$ \tag{1}\label{1} L(t, T, T + \tau) = \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau \right], $$

con $t \leq T$. Esto significa que la expectativa bajo esta medida específica de la tasa spot Libor $L(T, T, T + \tau) = \hat{L}(T, T + \tau)$ puede calcularse analíticamente.

Ahora, brevemente, me gustaría saber si esta propiedad puede extenderse a la tasa forward Libor:

$$ \tag{2}\label{2} L(t, T, T + \tau) = \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(s, T, T + \tau \right], $$

con $t \leq s \leq T$. Si puedes responder a esto, no es necesario seguir leyendo.

El resultado en \eqref{1} es muy útil para muchos cálculos. Por ejemplo, se utiliza para la valuación de un swap vanilla, mostrando que su precio depende solo de la estructura temporal de tasas de interés observada en la fecha de valuación.

Analicemos un caso más sencillo. Imagina la siguiente secuencia de pagos:

    ------x//////////x------>
    |      |          |
    t    Tx = T      Tp = T + 

donde Tx representa una fecha de fijación y Tp una fecha de pago. El valor de este contrato en el tiempo $t \leq T_x$ está dado por:

$$ \begin{align} V(t) &= \mathbb{E}_t^Q \left[ D(t, T + \tau) \cdot \tau \cdot L(T, T, T + \tau) \right]\\ V(t) &= P(t, T + \tau) \cdot \tau \cdot \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau) \right] \end{align} $$

donde $D(t, T)$ representa el factor de descuento y $P(t, T)$ el bono de descuento o cero cupón. La ecuación anterior conduce a (usando la propiedad definida en \eqref{1}):

$$ V(t) = P(t, T + \tau) \cdot \tau \cdot L(t, T, T + \tau) $$

Hasta aquí todo bien. Ahora me gustaría calcular el precio de una secuencia de pago generalizada, dada por:

    ------x----+//////////+----x------>
    |      |    |          |    |
    t      Tx   Tb         Te   Tp

donde Tx representa una fecha de fijación, Tb un inicio de período de devengo, Te un fin de período de devengo y Tp una fecha de pago.

El valor de este contrato en el tiempo $t \leq T_x$ está dado por:

$$ \begin{align} V(t) &= \mathbb{E}_t^Q \left[ D(t, T_p) \cdot \left(T_e - T_b \right) \cdot L(T_x, T_b, T_e) \right]\\ V(t) &= P(t, T_p) \cdot \left(T_e - T_b \right) \cdot \mathbb{E}_t^{T_p} \left[ L(T_x, T_b, T_e) \right] \end{align} $$

Esta última expectativa parece no ser analíticamente manejable, ¿cierto? Lo que me gustaría saber es qué restricciones debo imponer para poder resolverla analíticamente. Por ejemplo, ¿es suficiente hacer coincidir solo la fecha de fin y la fecha de pago, es decir, $T_e = T_p$, lo que conduce a:

$$ \begin{align} V(t) &= P(t, T_p) \cdot \left(T_p - T_b \right) \cdot \mathbb{E}_t^{T_p} \left[ L(T_x, T_b, T_p) \right] \end{align} $$

Esta expectativa podría resolverse si \eqref{2} es verdadera. Tal vez \eqref{2} pueda demostrarse usando la definición de la tasa forward Libor:

$$ L(t, T, T + \tau) = \frac{1}{\tau} \cdot \left( \frac{P(t, T)}{P(t, T + \tau)} - 1 \right) $$

¿Alguna idea o esto no es posible y tanto $T_x = T_b$ como $T_e = T_p$ deben coincidir para obtener una expectativa analíticamente manejable?

Finalmente, solo por completitud, me gustaría señalar que cuando $T_e \neq T_p$, surge la necesidad de un ajuste de convexidad. Esta pregunta trata sobre si se necesita un ajuste de convexidad u otra cosa cuando $T_x \neq T_b$.

Answer 1

Solo necesitamos usar la propiedad de la torre de la esperanza condicional ($t\leq s\leq T$):

$$ \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(s, T, T + \tau)\right] =\mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ \mathbb{E}_s^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau)\right] \right] $$ $$ = \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau)\right] = L(t, T, T + \tau) $$