Supongamos que la función de gasto es separable multiplicativamente en $\textbf{p}$ y u para que $$e(p,u) =k(u)g(\textbf{p}),$$ donde k(-) es alguna función monótona positiva de una sola variable, y g: $\mathbb{R^n_{+}}$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}_{+}$ .
Gracias de antemano.
Este es mi intento de pista, aunque agradezco los comentarios, ya que no estoy seguro de su rigor. Según el comentario que di con el recurso, tu pregunta parece requerir una pregunta previa para poder hacer esto.
Por lo tanto, hay que empezar mostrando que la parte de los ingresos que se gasta en el bien $x_i$ siempre se puede medir por la elasticidad de la función de gasto con respecto a $p_i$ en $(p, u^*)$ donde $u^* = v(p,w)$
$$\mid \eta^ {e_{x_i, p_i}}\mid \ = \frac{\frac{\Delta x_i}{x_i}}{\frac{\Delta p_i}{p_i}} = \frac{\Delta x_i}{\Delta p_i} \cdot \frac{p_i}{x_i} = \frac{\partial x_i}{\partial p_i} \cdot \frac{p_i}{x_i}$$
Lo sabemos,
$$e(p,u^*) = p \cdot \tilde x, \forall \ \tilde x x^h (p, u^*) = x(p, e(p, u^*))$$
por dualidad, donde $x^h(p, u^*)$ denota la demanda hicksiana. Así que,
$$\frac{\partial e(p_i,u^*)}{\partial p_i} = x_i$$ $$\frac{\partial x_i}{\partial e(p_i, u^*)} = \frac{x_i}{w}$$
$$\implies \frac{\partial x_i}{\partial p_i} \cdot \frac{p_i}{x_i} = \frac{\partial e}{\partial p_i} \cdot \frac{\partial x_i}{\partial e}\cdot \frac{p_i}{x_i} = \frac {x_i^2}{w} \cdot \frac{p_i}{x_i} = \frac{p_i x_i}{w}$$
Que es la parte de la renta que se gasta en bienes $x_i$
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