Dominio estocástico de segundo orden

Question

Tengo dos preguntas muy básicas sobre la dominancia estocástica de segundo orden (SOSD):

1. ¿Estoy en lo cierto al pensar que se trata de un orden parcial, es decir, que se puede encontrar un par de loterías tal que ninguna de ellas sea SOSD de la otra?
2. ¿Podría ser que, si sólo consideramos las loterías con medios iguales, el SOSD sea entonces un orden completo? [Sospecho que no...]

Answer 1

La respuesta a 2. es no .

Una forma de ver esto es a partir de la Propiedad 6.D.2 del MWG: $F$ SOSD $G$ si y sólo si \begin{equation} \int_0^xF(t)\mathrm dt \le \int_0^xG(t)\mathrm dt \quad\text{for all }x. \end{equation} Dixit llama a las dos integrales superacumulativo funciones de $F$ y $G$ respectivamente. Por lo tanto, una caracterización de la SOSD es que la superacumulación de la distribución dominante siempre está por debajo de la superacumulación de la distribución dominada. (Esto es una reminiscencia de la caracterización de la FOSD como la cdf de la distribución dominante siempre por debajo del cdf de la dominada).

Para un contraejemplo, sólo tenemos que llegar a las distribuciones $F$ y $G$ de tal manera que sus supercúmulos se cruzan. Aquí hay uno: \begin{align} f(x)&=\begin{cases} 0.1 & x\in\{0,6\}\\ 0.4 & x\in\{2,4\}\\ 0 & \text{elsewhere} \end{cases} \\ g(x)&= \begin{cases} \frac13 & x\in\{1,3,5\}\\ 0 & \text{elsewhere} \end{cases} \end{align} Ambas distribuciones tienen la misma media de $3$ pero, como muestra la siguiente figura, sus supercúmulos ( $S_F$ y $S_G$ ) se cruzan en varios puntos, por lo que ninguna de las dos distribuciones se SOSD la otra.

Aquí, $S_F(x)=\int_0^x F(t)\mathrm dt = \int_0^x\int_0^tf(s)\mathrm ds\mathrm dt$ y $S_G$ se define de forma similar. Dado que $f$ y $g$ son funciones de masa de probabilidad, las fdc $F$ y $G$ son funciones escalonadas (mostradas a continuación). Integrando las funciones escalonadas se obtiene la función lineal continua y a trozos $S_F$ y $S_G$ arriba.

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Editar

Como señaló OP en un comentario, "TODAS las personas con aversión al riesgo y con utilidad isoelástica ( $u=x^\alpha$ , $\alpha\in(0,1)$ ) prefieren apostar $G$ apostar $F$ ". La respuesta negativa anterior sugiere que debe haber una función cóncava con la que $F$ es preferible a $G$ . He aquí un ejemplo: \begin{equation} u(x)=\begin{cases} 2x& x\le 2\\ 4& x>2 \end{cases} \fin{sión} Esta función es cóncava, y $\mathbb E_F(u)=3.6>3.\overline{33}=\mathbb E_G(u)$ .

Answer 2

La respuesta a 1.

Su conjetura es correcta. Considere las loterías $A,B$ donde $A$ garantiza un pago de 1 mientras que $B$ da como resultado 0 o 4, cada uno con un 50% de probabilidad.

$B$ no SOSD $A$ ya que es fácil encontrar un agente con suficiente aversión al riesgo como para que prefiera $A$ Por ejemplo, un agente cuyas preferencias están descritas por $u(x) = \ln(x)$ .

$A$ no SOSD $B$ tampoco, como $E(B) > E(A)$ , es decir, un agente con $u(x) = x$ preferiría $B$ .