Sustitutos perfectos y Lagrange

Question

¿Cómo se resuelve la maximización de la utilidad de sustitutos perfectos usando la función Lagrangiana?

Considere el problema $$\max_{x,y} ax +by $$

sujeto a la restricción de que

$$px + qy \leq I$$

donde $a,b,p,q,I>0$.

Nota: Las afirmaciones del problema están sujetas a las suposiciones implícitas estándar de que el consumo no puede ser negativo.

Answer 1

Su Lagrangiano sería $$L = (ax+by)+\lambda (Ip_x xp_y y) +\mu_x(x0)+\mu_y(y-0),$$ donde los dos términos finales representan la restricción de que $x,y\geq0$.

Luego llegas a las condiciones $$\frac{\partial L}{\partial x}= a -\lambda p_x +\mu_x=0$$ $$\frac{\partial L}{\partial y}= b -\lambda p_y +\mu_y=0$$ $$I=p_x x+p_y y$$ y condiciones de holgura complementaria $$\mu_x x =0 , \quad \mu_y y =0.$$

Luego consideras muchos casos diferentes: $(\mu_x>0,x=0,\mu_y=0,y>0),(\mu_x=0,x>0,\mu_y=0,y>0), (\mu_x=0,x=0,\mu_y=0,y>0), ....$ y para cada uno de ellos revisas tus condiciones:

Supongamos que $(\mu_x>0,x=0,\mu_y=0,y>0)$. Entonces, $$a -\lambda p_x +\mu_x=0 \Rightarrow a -\lambda p_x <0$$ $$b -\lambda p_y +\mu_y=b -\lambda p_y=0$$ $$\Rightarrow a -\frac{b}{p_y} p_x <0 \iff \frac{a}{p_x} <\frac{b}{p_y}$$ Esta condición puede ser verificada ya que $a,b,p_x,p_y$ son dados. Si no se cumple, $x=0,y>0$ no puede ser la solución. Si se cumple, significa que la utilidad por cada dólar gastado es mayor para el bien $y$ y todo el dinero debe ser gastado en $y$ (que $x=0,y>0$ y la restricción presupuestaria implican).

Debes revisar todos los casos, pero llegarás a una solución de la forma mencionada anteriormente.