El núcleo y el equilibrio competitivo

Question

¿Puede alguien explicar por qué el concepto de núcleo es equivalente a un equilibrio competitivo?

Estoy escribiendo un trabajo trimestral para mi clase de teoría de la concordancia y me está costando seguir la bibliografía.

En particular, me refiero a Gale y Shapley (1962), Shapley y Shubik (1971), y Crawford y Knoer (1981).

Gracias

Answer 1

tldr: El núcleo es un concepto muy general que puede utilizarse en una gran cantidad de modelos. Aplicándolo al entorno de un equilibrio general, se puede demostrar que todo equilibrio competitivo está en el núcleo.

El núcleo

El núcleo es un concepto que puede definirse para entornos muy abstractos.

Consideremos una población de agentes $N$ y un espacio $\Omega$ de los resultados. Supongamos que cada agente tiene una buena relación de preferencia (transitiva y completa) $\succeq_i$ sobre los elementos de $\Omega$ .

Además, los agentes pueden formar coaliciones $A \subseteq N$ y para cada estado $x \in \Omega$ y la coalición $A$ hay una correspondencia $\Gamma_A: \Omega \rightrightarrows \Omega$ que determina a qué estados la coalición $A$ puede desviarse al comenzar en $x$ .

Por ejemplo, si $y \in \Gamma_A(x)$ esto significa que en el estado $x$ la coalición $A$ tiene el poder de pasar al estado $y$ .

Decimos que un estado $x$ domina el estado $y$ por la coalición $A$ si:

1. $y \in \Gamma_A(x)$
2. para todos $i \in A$ : $y \succeq_i x$ y hay al menos una $j \in A$ tal que $y \succ_j x$ .

La condición 1 establece que $A$ tiene el poder de pasar de $x$ a $y$ . La condición 2 exige que cada miembro de $A$ (débilmente) prefiere $y$ en $x$ y al menos un miembro prefiere estrictamente $y$ en $x$ . Si se cumplen ambas condiciones, se puede decir que $x$ no es una situación estable ya que $A$ puede encontrar un estado mejor $y$ .

Ahora bien, dada dicha estructura $(N, \Omega, (\succeq_i|i \in N), (\gamma_A|A \subseteq N))$ podemos definir un núcleo como el conjunto de todos los estados $x \in \Omega$ que no estén dominados por algún otro estado. En otras palabras, ninguna coalición puede encontrar una desviación rentable de $x$ .

Economías de intercambio y equilibrios perfectos

Ahora bien, demos que para una economía de intercambio, el equilibrio competitivo está en el núcleo. Una economía de intercambio consiste en un conjunto de agentes, $N$ un conjunto de bienes $J$ . Cada agente tiene una función de utilidad localmente no saturada $u_i: \mathbb{R}^J_+ \to \mathbb{R}$ y una dotación $\omega_i \in \mathbb{R}^J_+$ . Un vector de precios $p \in \mathbb{R}^J_+$ junto con una asignación $(x_1, \ldots, x_N)$ para los agentes de la economía es un equilibrio competitivo si para todos los agentes $i \in N$ : $$ x_i \in \arg \max_{q} u(q) \text{ subject to } p' q = p' \omega_i $$ (la igualdad de la restricción presupuestaria se mantiene debido a la no saturación local) y: $$ \sum_{i \in N} x_i = \sum_{i \in N} \omega_i $$ Esta segunda condición requiere que la demanda sea igual a la oferta.

Para demostrar que toda asignación de un equilibrio competitivo está en el núcleo, primero necesitamos obtener un mapeo de nuestra economía de intercambio a la estructura dada anteriormente:

1. El conjunto de agentes es simplemente el conjunto $N$

2. El conjunto de estados $\Omega$ puede ser cualquier asignación $(x_1, \ldots, x_N)$ tal que $\sum_{i \in N} x_i = \sum_{i \in N} \omega_i$ .

3. Las preferencias $\succeq_i$ son las que corresponden a las funciones de utilidad. $$ (x_1, \ldots, x_n) \succeq_i (y_1, \ldots, y_N) \iff u(x_i) \ge u(y_i). $$

4. Ahora para las posibles desviaciones de una coalición $A$ Suponemos que cada coalición puede pasar a una asignación simplemente reasignando sus propias dotaciones. Esto significa que pueden pasar a una nueva asignación para sus miembros siempre que el consumo total dentro de la coalición no supere la dotación total de los miembros de la coalición. (Hay un problema aquí ya que no estoy especificando lo que ocurre con el consumo de los miembros fuera de la coalición una vez que una coalición se desvía, pero veremos que esto no importa realmente para el argumento).

Dado esto, demostremos que cualquier equilibrio competitivo está en el núcleo. Para llegar a una contradicción, supongamos que $(x_1, \ldots, x_N)$ es un equilibrio competitivo con el vector de precios $p$ y suponer que la coalición $A$ ha encontrado una desviación rentable $(y_i| i \in A)$ . Esto significa que:

1. para todos los miembros $i \in A$ : $$ u_i(y_i) \ge u_i(x_i), $$

2. para al menos un miembro $j \in A$ $$ u_j(y_j) > u_j(x_j). $$

3. El consumo total en $A$ no debe superar la dotación total de los miembros en $A$ $$ \sum_{i \in A} y_i \le \sum_{i \in A} \omega_i $$

Demostremos que estas tres condiciones conducen a una contradicción. En primer lugar, utilizando un simple argumento de preferencia revelada se deduce de $u_i(y_i) \ge u_i(x_i)$ eso: $$ p' y_i \ge p' x_i. $$ De hecho, por lo demás $p' y_i < p' x_i \le p' \omega_i$ lo que significa que $y_i$ era más barato que $x_i$ . Sin embargo, esto contradice la suposición de que $x_i$ era la maximización de la utilidad para $i$ a los precios $p$ . También utilizando un argumento similar de preferencia revelada, podemos demostrar que $u_j(y_j) > u_j(x_j)$ implica: $$ p' y_j > p' x_j. $$ Así que sumando estas desigualdades a través de $i \in A$ obtenemos: $$ \sum_{i \in A} p' y_i > \sum_{i \in A} p' x_i. $$ Por otro lado de las condiciones de restricción presupuestaria y 3. también tenemos que: $$ \sum_{i \in A} p' x_i = \sum_{i \in A} p' \omega_i = p' \sum_{i \in A} \omega_i \ge p' \sum_{i \in A} y_i = \sum_{i \in A} p' y_i $$ una contradicción.