En la sección 3.2.3 de la segunda edición de "Interest Rate Models - Theory and Practice" de Brigo y Mercurio, la dinámica de los tipos de interés a plazo implícita en el modelo CIR se deriva como sigue:
La dinámica de los tipos de interés a corto plazo de la CIR bajo la medida de riesgo neutro:
$d r(t)=k(\theta-r(t)) d t+\sigma \sqrt{r(t)} d W^Q(t)$
La dinámica de la tasa de interés a plazo bajo la medida a plazo: $d F(t ; T, S)=\sigma \frac{A(t, T)}{A(t, S)}(B(t, S)-B(t, T)) \exp \{-(B(t, T)-B(t, S)) r(t)\} \sqrt{r(t)} d W^{S}(t) = \sigma\left(F(t ; T, S)+\frac{1}{\gamma(T, S)}\right) \sqrt{(B(t, S)-B(t, T)) \ln \left[(\gamma(T, S) F(t ; T, S)+1) \frac{A(t, S)}{A(t, T)}\right]} d W^{S}(t)$
[Pregunta 1]
Cuando la tasa corta sigue un proceso normal, por ejemplo, como el siguiente:
$d r(t)=k[\theta(t)-\alpha(t)r(t)] d t+\sigma(t) d W^Q(t)$ ,
y si sigo la misma derivación que se hizo para el modelo CIR, ¿estoy en lo cierto al suponer que la dinámica de la tasa de avance se vería como un proceso logarítmico desplazado como este?
$d F(t ; T, S)=\sigma(t) (B(t, S)-B(t, T))\left(F(t ; T, S)+\frac{1}{\gamma(T, S)}\right) d W^{S}(t)$
[Pregunta 2]
Entonces, si además asumo que $B(t,T)=T-t$ la dinámica de los tipos de interés se convertiría en
$d F(t ; T, S)=\sigma(t) \gamma(T, S) \left(F(t ; T, S)+\frac{1}{\gamma(T, S)}\right) d W^{S}(t)$ .
¿Significa esto que cuando $F(t ; T, S)$ está cerca de cero, se comporta como un proceso normal con la volatilidad de la tasa corta?
Es decir $d F(t ; T, S)=\sigma(t) d W^{S}(t)$ ?
