Opciones geométricas asiáticas continuas

Question

Supongamos que el bono sin riesgo $B_t$ y las acciones $S_t$ siguen la dinámica del modelo de Black & Scholes sin dividendos (con tipo de interés r, deriva de las acciones $\mu$ y la volatilidad $\sigma$ ). Sea $c(t; St;Gt;K)$ y $p(t; St;Gt;K)$ sean los precios en el momento t de la opción de compra y de la opción de venta geométrica asiática (continua) de la opción de compra y de la opción de venta con strike $K$ . Encuentre una relación de paridad put-call para las opciones geométricas asiáticas. En otros términos, y una expresión explícita para $c(t; St;Gt;K)-p(t; St;Gt;K)$ .

Hasta ahora, esto es lo que tengo: $G_T=\exp\{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\log S_udu\}\\ X_T=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\log S_udu\\ G_T=e^{X_T}$

Las funciones de pago son: $c_{fix}=(G_T-K)^+=(e^{X_T}-K)^+\\ p_{fix}=(K-G_T)^+=(K-e^{X_T})^+\\ c_{fix}-p_{fix}=G_{T}-K$

Mediante una evaluación neutral del riesgo: $c_{fix}-p_{fix}=e^{-r(T-t)}E^{Q}[e^{X_T}-K]$ .

Espero entender cómo calcular esto sin la variable normal estándar.

Answer 1

Tanto si se trata de una media aritmética como geométrica, siempre se obtiene \begin{align*} \mathrm{AsianCall} - \mathrm{AsianPut} = e^{-rT} (\mathbb{E}[\bar{S}]-K). \end{align*}

Entonces, calculemos la expectativa. Usted sabe que $\bar{S}=\exp\left( \frac{1}{T} \int_0^T \ln(S_t)\mathrm{d}t \right)$ donde $\ln(S_t) =\ln(S_0)+\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t+ \sigma W_t$ .

Así,

\begin{align*} \ln(\bar{S}) &= \frac{1}{T} \int_0^T \ln(S_t)\mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{T} \int_0^T \left( \ln(S_0)+\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t + \sigma W_t \right) \mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{T}\left( \ln(S_0)T + \frac{1}{2}\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T^2+\sigma\sqrt{\frac{1}{3}T^3}Z \right) \\ &= \ln(S_0) + \frac{1}{2}\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T+\frac{\sqrt{3}}{3}\sigma\sqrt{T}Z, \end{align*} usando eso $\int_0^T W_t\mathrm{d}t\sim N\left(0,\frac{1}{3}T^3\right)$ como se muestra aquí .

En consecuencia, \begin{align*} \ln(\bar{S}) \sim N\left( \ln(S_0) + \frac{1}{2}\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T, \frac{1}{3}\sigma^2 T\right). \end{align*}

Por lo tanto, $\bar{S}$ tiene una distribución log-normal y $\mathbb{E}[\bar{S}]=e^{m+\frac{1}{2}s^2}$ , donde $m$ y $s$ son la media y la desviación estándar de $\ln(\bar{S})$ como se ha calculado anteriormente.