En primer lugar, soy matemático, así que pido disculpas por mi ignorancia respecto al cálculo estocástico. ¿Qué hace exactamente una expresión como:
$$ \mathbb{E}[dX_tdY_t] $$ aquí $X_t,Y_t$ ¿son procesos estocásticos? Los diferenciales $dX_t, dY_t$ no están exactamente bien definidos, así que me preguntaba qué significa esta expresión.
En el cálculo estocástico, expresiones del tipo: $$ dX_t = a(t, X_t)dt + b(t, X_t) dW_t $$
se denominan ecuaciones diferenciales estocásticas.
Lo que el anterior significa, por ejemplo, es que $X_t$ tiene la siguiente expresión: $$ X_t = X_0 + \int_0^t a(u, X_u)du + \int_0^t b(u, X_u) dW_u $$
La primera integral es regular y la segunda se llama integral estocástica o integral de Ito. Puedes encontrar una definición rigurosa de la integral estocástica en cualquier cuaderno de cálculo estocástico. Se define como el límite de una suma sobre alguna subdivisión cuando su malla va a cero (de forma similar a como se define la integral de Riemann).
Véase, por ejemplo: https://en.wikipedia.org/wiki/It%C3%B4_calculus
En cuanto a la definición del símbolo, creo que $\mathbb{E} \left[dX_tdY_t \right]$ denota el covariación de $X$ y $Y$ que a veces se denomina $d\langle X, Y\rangle_t$ o $d[X, T]_t$ .
Esta cantidad también tiene una definición matemática rigurosa (también como una suma, parecida a la de una covarianza, sobre una partición cuando la malla va a cero). Se puede pensar en ella como la covarianza instantánea entre $X$ y $Y$ .
Véase, por ejemplo: https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_variation
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Aunque un matemático no tiene por qué saber de cálculo estocástico, la gente suele pensar que sí.
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@Gordon, para aclarar, entiendo el significado de la expresión $dX_t = b(t,X_t)dt + \sigma (t,X_t)\mathrm{d}W_t$ sino que no sabía qué $\mathbb{E}[dX_t]$ representado.