Homogénea de grado uno en la función de utilidad.

Question

Pregunta

Mi solución es la siguiente. Por favor, compruebe mi solución. Si me equivoco, por favor, díganlo. Realmente no estoy seguro de mi solución. Gracias.

U(x) es homogénea de grado uno, es decir, u(tx)=tu(x)

En primer lugar, demuestro que la función de utilidad indirecta es homogénea de grado uno en m.

Por la maximización de la utilidad,

V(p,m)=máximo u(x) sujeto a px $\le$ m

tv(p,m)=máx tu(x) sujeto a px $\le$ m

Dado que u(tx)=tu(x), tv(p,m)=max u(tx) sujeto a px $\le$ m

Entonces v(p,tm)=tv(p,m)

Es decir, la función de utilidad indirecta es homogénea de grado uno.

Demuestro que la función de gasto es homogénea de grado uno en u utilizando el resultado anterior.

Sé que

v(p,m)=v(p, e(p,u))=u(x)

Como u(x) es homogénea de grado uno y v(p,m) es homogénea de grado uno en m, v(p, e(p,u)) tiene que ser homogénea de grado uno en e(p,u).

En otras palabras, v(p, e(p,u(tx)))=v(p, e(p,tu(x)))=tv(p, e(p,u)) es válido si e(p,tu(x))=te(p,u(x))

es decir, la función cara e(p,u) es homogénea de grado uno en u.

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Ahora demostraré que la demanda marshalliana x(p,m) es homogénea de grado uno en m.

Por la identidad de Roy,

$$\frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m)$$

Por el primer resultado, como v(p,m) es homogénea de grado uno en m, entonces x(p,m) es homogénea de grado uno en m.

ahora demostremos que la demanda hicksiana es homogénea de grado uno en u.

Sé que

x(p,m)= x(p,e(p,u))=h(p,u) ........(1)

x(p,tm)=tx(p,m)=tx(p,e(p,u))=x(p,te(p,u))

Ya que e(p,u) es homogénea de grado uno por la segunda parte,

x(p,te(p,u))=x(p,e(p,u(tx))=h(p,u(tx))=h(p,tu(x))=th(p,u(x)) debe cumplirse ya que la igualdad(1) existe.

Es decir, la demanda hicksiana es homogénea de grado uno en u.

Answer 1

La forma en que muestra que $v(p,m)$ es homogénea de grado uno en $m$ es correcto, pero la razón por la que esto implica $e(p,u)$ es homogénea de grado uno en $u$ , no es muy preciso en su argumento. Por ejemplo, la dualidad nos dice $$v(p,e(p,u))=u,$$ donde $u$ es sólo un nivel de utilidad objetivo, pero no debe ser $u(x)$ como en su prueba.

Esta es una posible forma de proceder: Dado que $v(p,m)$ es homogénea de grado uno en $m$ se puede escribir como $$v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p).$$ Aplicando la igualdad $v(p,e(p,u))=u$ da $$e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)},$$ lo que implica claramente que $e(p,u)$ es homogénea de grado uno en $u$ . Se puede utilizar un argumento similar para demostrar la homogeneidad de la demanda hicksiana.

Dicho esto, le sugiero que demuestre directamente la afirmación original utilizando las definiciones de función de gasto y demanda hicksiana. Por ejemplo, \begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\\ &=\cdots \end{align*}