Kernel de precios de Markov

Question

Estoy leyendo acerca de núcleos de precios de Markov en las notas de una clase que estoy siguiendo, pero tengo una gran duda sobre una aplicación del lema de Ito. La configuración es la siguiente:

Definimos el núcleo de precios como $$ \xi_t = \xi(D_t,y_t,t) = e^{\int_0^t \delta(D_s,y_s)ds} T(D_t,y_t), \qquad \xi_0=1 $$ donde $D$ y $y$ son procesos de Ito que siguen la dinámica $$ dD_t = m(D_t,y_t)dt + \sigma(D_t,y_t) dW_{1t} $$ y $$ dy_t = \varphi(y_t)dt + v_1(y_t) dW_{1t} + v_2(y_t) dW_{2t} $$ Además, asumimos que el núcleo de precios sigue la dinámica $$ \frac{d\xi_t}{\xi_t} = -R_t dt -\lambda_{1t} dW_{1t}-\lambda_{2t} dW_{2t} $$

Ahora, la afirmación en las notas de la clase es que aplicando el lema de Ito a $\xi_t$, se obtiene $$ R(D,y) = \delta(D,y) - \frac{\mathscr{L} T(D,y)}{T(D,y)}, $$ donde $\mathscr{L}$ es el generador infinitesimal.

Ahora, puedo ver que este resultado se puede obtener - bastante trivialmente - en el caso en el que la función $\delta$ en la integral no depende de $D$ y $y. Pero en el caso en el que la dependencia está presente (como se indica en las notas de la clase), la deriva obtenida con Ito toma una forma mucho más compleja, y realmente no veo una cancelación de los términos.

¿Estás de acuerdo conmigo - y por lo tanto hay un error tipográfico en mis notas de clase - o estoy aplicando Ito de manera incorrecta?

Answer 1

Para acortar la notación, escribimos $T_t = T(D_t,y_t)$ y $\delta_t = \delta(D_t,y_t)$.

Hay dos formas de demostrar que, de hecho, la dinámica de $$ \xi_t = \xi(D_t, y_t,t) = e^{-\int_0^t \delta_s ds}\, T_t $$ está dada por $$ \frac{d\xi_t}{\xi_t} = \left( -\delta_t + \frac{\mathscr{L} T_t}{T_t} \right)dt \quad+\quad \text{términos de difusión}.

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Primera forma (más formal)

Escribimos $\xi_t = g_t T_t$, donde $g_t = e^{-\int_0^t \delta_s ds}$. Es fácil mostrar que la dinámica de $g_t$ está dada por $$ \frac{dg_t}{g_t} = -\delta_t \, dt $$ por lo tanto, aplicando la regla del producto de Ito tenemos $$ d\xi_t = d(g_t T_t) = T_t dg_t + g_t dT + dg_t dT_t = -\delta_t \xi_t dt + g_t dT_t $$ porque el término de producto se anula ya que $dg_t$ no tiene difusión. Por lo tanto,

$$ \frac{d\xi_t}{\xi_t} = \frac{d\xi_t}{g_tT_t} = -\delta_t dt + \frac{dT_t}{T_t} = \left( -\delta_t + \frac{\mathscr{L} T_t}{T_t} \right)dt \quad+\quad \text{términos de difusión} $$

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Segunda forma (menos formal)

La función $g_t = -\int_0^t \delta(D_s,y_s) ds$ es constante con respecto tanto a $D_t$ como a $y_t$, en el sentido de que la contribución de la última realización en el tiempo $t$ de los procesos a la integral sobre $[0,t]$ es casi seguramente igual a $0$. En otras palabras,

$$ \frac{\partial g_t}{\partial D_t} = \frac{\partial g_t}{\partial y_t} = 0 \, .$$ Por lo tanto, el resultado se sigue al notar que $$ \mathscr{L} \xi_t = g_t \mathscr{L} T_t \implies \frac{\mathscr{L} \xi_t}{\xi_t} = \frac{\mathscr{L} T_t}{T_t} $$

Answer 2

Creo que estás teniendo problemas para diferenciar la integral de $\delta$.

Deberías recordar que la notación diferencial es solo una notación para una integral: $A_td B_t = A'_t dB'_t$ solo significa $\int_0^T A_td B_t = \int_0^T A'_t dB'_t$.

En particular, $d\int_0^t A'_s dB'_s = A'_t dB'_t$ es una tautología. Por lo tanto $$ d ( e^{\int_0^t \delta(s,X_s) ds} )= e^{\int_0^t \delta(s,X_s) ds} d (\int_0^t \delta(s,X_s) ds ) = e^{\int_0^t \delta(s,X_s) ds}\delta(t,X_t)dt $$

Aplicar la fórmula de Ito al producto con $T$ da como resultado.