Dado 1) Sustitutos perfectos: X e Y 2) Complementos: Z y X ¿es posible generar una función de utilidad que los relacione?
X y Z deben consumirse siempre juntos, y se puede sustituir X por Y.
Respuestas
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StasK
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Dejaré de lado la claridad de la pregunta.
1) Si lo que se entiende por sustitutos/complementos perfectos no implica que estos productos sean necesariamente relevantes para las preferencias de un agente, entonces la respuesta es positiva, con la función de utilidad $U(x,y,z)$ que se define como $$ U(x,y,z)=0 \text{ for all } x,y, \text{ and }z. $$ 2) Si se entiende implícitamente que el aumento $x$ y $z$ juntos producirían una mayor utilidad y una transferencia de uno a uno entre $x$ y $y$ el consumo produce la misma utilidad para el agente, entonces la respuesta es negativa. El razonamiento puede verse como sigue. $$ \begin{eqnarray} \mathbf{U(1,2,0)}&=&U(0,2,0) \text{ by perfect complementarity}\\ &<&U(1,2,1) \text{ since $x$ and $z$ consumption together is good}\\ &=&U(0,3,1) \text{ since $x$ and $y$ are perfect substitutes}\\ &=&U(0,3,0) \text{ due to perfect complementarity between $x$ and $z$}\\ &=&\mathbf{U(1,2,0)} \text{ since $x$ and $y$ are perfect substitutes}\\ \end{eqnarray} $$ lo que lleva a una contradicción. Se puede escribir una prueba general cuando se relajan los supuestos, pero creo que esto es suficientemente clarificador.
Rex
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Si sólo se pide una función de utilidad, entonces, como ha señalado BB King, $U(x,y,z) = \min\left\{x+y, z\right\}$ funciona para los complementos perfectos. Si se trata de complementos en general, se puede poner un peso sobre los productos para mostrar su complementariedad.
$$U(x,y,z) = \min \left\{\alpha(x + y), (1-\alpha)z \right\}$$
Sin embargo, recuerde que el precio de x e y puede determinar si realmente compra x o y. $p_x > p_y$ entonces el consumidor no comprará ningún bien $x$ y de forma similar para $p_y > p_x$ .
